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Mathematik

mit einer wechselnden Auswahl von Unterrichtsmaterialen zur Mathematik sowie Verweisen ("Links") auf fremde Internetseiten.

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Da es umgekehrt mühsam ist, alle Formeln, Sonderzeichen, Abbildungen u.ä. einzeln in Bilder zu konvertieren und damit die Arbeitblätter ins Netz zu stellen -- zumal HTML nicht alle Formatierungen kennt, das Ergebnis also trotzdem oft unbefriedigend bleibt --, habe ich entweder (bei den Lösungen) direkt seitengroße Bilder integriert oder habe viele Beiträge im pdf-Format bereitgestellt (pdf-Reader erforderlich; kostenlos sind z.B. der bekannte Adobe-Reader, aber auch die meist kompakteren und z. T. besseren FoxIt- , Safari-, Nuance-Pdf- oder der Perfect-Pdf-Reader bzw. der Pdf-XChange-Viewer, um nur einige zu nennen).

Inzwischen wurde in viele Internet-Browser ein eigener pdf-Anzeiger standardmäßig integriert. Wenn dessen Anzeige nicht überzeugt, kann nach Installation eines besseren pdf-Readers der Browser meist so eingestellt werden, dass er das fremde (bessere) Anzeigeprogramm verwendet!




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14.3.2020 Erster Welttag der Mathematik,
viele Veranstaltungen für 2021 verschoben

Hervorgegangen aus dem früheren Pi-Tag (pi day; das Datum zeigt in amerikanischer Schreibweise 3/14 die ersten drei Ziffern der Kreiszahl Pi), wird auf Beschluss der Unesco ab 2020 immer am 14. März der internationale Tag der Mathematik gefeiert, jetzt also zum ersten Mal. Während der "Kleine Kalender" auch immer noch vor allem die Kreiszahl erwähnt, planten Mathematische Institute vieler Hochschulen Sonderveranstaltungen. Schließlich ist das diesjährige Motto "math is everywhere". In Düsseldorf sollte es z.B. einen Präsentation im Haus der Universität in der Innenstadt mit Spielen, Filmen und Vorträgen über die aktuelle mathematische Forschung geben. Die internationale Projekt-Homepage idm314.org rief alle, die mit Mathematik zu tun haben (insbesondere natürlich auch Mathe-Lehrerinnen und -lehrer) auf, an diesem Tag die Bedeutung des Fachs durch ein Event oder eine geeignete Aktion ins allgemeine Bewusstsein zu heben. Die Schutzmaßnahmen gegen die Ausbreitung des Corona-Virus haben in letzter Minute allerdings die Durchführung der meisten Veranstaltung verhindert; ab/nach dem Mathe-Tag fiel der Schulunterricht zumindest in der gewohnten Präsenzform aus und konnten vorbereite Unterrichtsinhalte nicht mehr in den Klassen behandelt werden. Informieren Sie sich daher online über die Mathematik, z.B. hier auf meiner "Mathematik"-Hauptseite, wobei ich Ihnen auch die März-Aufgabe des Adventskalenders sowie insbesondere das Kapitel 'Anwendungsbezug und Realitätsnähe in der Mathematik' weiter unten auf dieser Seite besonders empfehle. Die dort angegeben Links/Verweisen führen weiter.

Wegen der anhaltenden Corona-Pandemie wurden für den 14.3.2021 keine besonderen Live- bzw. Präsenz-Veranstaltungen geplant. Manche Universitäten hoffen, bei zunehmenden Lockerungen Informationsveranstaltungen etwas später nachholen zu können (z.B. hofft die Freie Universität Berlin auf den 24. April 2021; das Zentrum für Mathematik will am 26.6.2021 an einigen Standorten Aktivitäten zeigen (so jedenfalls der Stand Anfang März 2021). Offiziell bleibt natürlich der 14.3.2021 der Zweite Internationale Tag der Mathematik, wie auch die (englischsprachige) Homepage betont und Live-Blogs und Online-Events ankündigt.


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Corona-Krise

Die Ausbreitung des neuen Corona-Virus verläuft - wie praktisch alle Infektionen, aber auch viele andere Vorgänge aus Natur und Alltag - anfangs exponentiell, d.h. die Anzahl A der Infizierten zur Zeit t lässt sich mit einer Formel der Form A = A0 * b k t berechnen, wobei * das Multiplikationssymbol bzw. den Malpunkt darstellt, A0 die Anzahl der Infiziertem zu einem willkürlich gesetzten "Anfangs"-Zeitpunkt angibt, t die verstrichene Zeit seit diesem Anfang meint, b eine beliebige Basis > 1 ist (gerne werden b = 2, b = e=2,718... oder b = 10 gewählt) und k eine zur Basis und zur Ausbreitungsgeschwindigkeit passende, positive Konstante bezeichnet. Zwischen k und t könnte ebenfalls ein Malpunkt stehen; auch wenn er wie üblich weggelassen wird, werden die beiden Größen k und t miteinander multipliziert. Ihr Produkt ist der Exponent oben am b. Dabei ist die Bezeichnung Konstante für k insofern falsch, als sich k mit dem Infektionsgeschehen ändert und man ja durch die Einschränkung der Kontakte zwischen den Menschen diese Zahl k auch wieder verkleinern will, um die Ausbreitung zu verlangsamen. k ändert sich also und ist keineswegs konstant. Erst, wenn ein nennenswerter Teil der (erreichbaren) Bevölkerung bereits durch früheren Kontakt und überstandene Krankheit (oder eine kommende Impfung) immun geworden ist, also die Weitergabe des Virus kaum noch (neue) Infektionen auslöst, oder wenn durch Abstände, Masken, Hygiene und weitere Schutzmaßnahmen die Weitergabe des Virus weitgehend unterbunden wird, folgt die Ausbreitung nicht mehr dem exponentiellen Wachstum, sondern geht allmählich in eine Sättigung über (logistisches Wachstum).

Die nachstehenden Ausführungen stellen in gewisser Weise auch eine Art Chronologie des Pandemie-Verlaufs und des jeweiligen Kenntnisse dar, da ich zu verschiedenen Zeitpunkten jeweils Ergänzungen entsprechend der jeweiligen Situation und dem damaligen Wissensstand angefügt habe. Begonnen habe ich in der zweiten März-Hälfte:

Typisch für das um den 20. März 2020 gültige exponentielle Wachstum ist, dass pro Tag nicht immer die gleiche Zahl von Neuinfizierten hinzukommt (also nicht jeden Tag beispielsweise +250 mehr), sondern die Zahl der Infizierten immer um den gleichen Faktor steigt, z.Z. um etwa 25 % (d.h. für die Gesamtzahl At der am Tag t Infizierten gilt At = 1,25 * At-1 , wobei At-1 die Anzahl der Infizierten vom Vortag t-1 ist). Das bedeutet, zu 1000 Infizierten kommen am ersten Tag 250 Neuinfizierte dazu, weswegen es zu Beginn des zweiten Tages 1250 Virusträger gibt. Ein Viertel davon bedeutet einen Zuwachs um 313 Neuinfizierte im Laufe des zweiten Tages, sodass am Morgen des dritten Tages die Gesamtzahl der Infizierten schon 1563 beträgt. Weil es jetzt insgesamt mehr Virusträger gibt, können diese auch noch mehr Leute anstecken, sodass einen Tag später die Gesamtzahl um rund 390 Neuinfizierte auf 1953 (also fast 2000) Infizierte steigt. Alle 3 Tage verdoppelt sich in etwa die Zahl der Infizierten, wenn es nicht gelingt, Ansteckungswege zu unterbrechen! Viele Leserinnen und Leser fühlen sich zu Recht an die alte "Reiskörner-auf Schachbrett"-Aufgabe oder eine Schulbuchaufgabe zur Seerosen-Ausbreitung erinnert. Deshalb sind wirksame Maßnahmen geboten. Tatsächlich scheint in den letzten Tagen (durch Schulschließung und Kontaktverbot, verordnete Mindestabstände u.ä.) die Verdoppelungszeit in Deutschland von anfangs nur 2,8 Tagen auf inzwischen 3,4 Tage verlängert worden zu sein (Stand 24.3.2020). Und Ende März/Anfang April betrug die Verdoppelungszeit sogar schon über 5 Tage!

Bevor ich nachfolgend verschiedene Wachstumsmodelle ausführe, hier einige Verweise auf informative fremde Webseiten zum Thema:

In den beiden nachfolgenden Kapiteln werden die Wirksamkeit der Kontakt-Beschränkung und vier verschiedene Wachstumsmodelle (letztere gerade auch im Hinblick die Coronavirus-Ausbreitung) besprochen.

Und noch etwas weiter unten auf dieser Seite gibt es bei den Mathe-Adventskalendern einen Verweis auf eine aktuelle Sonderaufgabe zur Corona-Pandemie. Wer selber bei der Corona-Bekämpfung helfen will, sollte unbedingt Kontaktbeschränkungen, Hygienetipps und Mindestabstände einhalten (nicht nur das Anhusten, sondern auch schon das Sprechen lässt Erreger in die Umgebung austreten! - das ist offenbar der häufigste Übertragungs-Weg: also unbedingt mindestens 1,5, besser 2 Meter Abstand zu jedem Menschen, jedem Entgegenkommenden, von jedem Sprechenden, zu jedem Angesprochenen oder von jedem Gesprächspartner halten). Darüber hinaus kann jeder auch Rechenleistung für das rasche Finden eines Impfstoffs zur Verfügung stellen, wie ich noch weiter unten auf dieser Seite am Ende des Abschnitts zur größten bekannten Primzahl melde.

Während ich den vorstehenden Überblick im Frühjahr 2020 geschrieben hatte, sind inzwischen nachfolgend viele weitere mathematisch unterfütterten Überlegungen anlässlich der leider immer noch andauernden (und vermutlich wohl bis mindestens Ende 2021 lebensbestimmenden) Corona-Pandemie hinzu gekommen. Viele Kapitel sind zusätzlich erschienen, manche wurden z.T. mehrfach aktuell ergänzt oder entsprechend dem Pandemieverlauf überarbeitet. Insofern lässt sich an den nachfolgenden Ausführungen auch eine Art Chronik der Entwicklung ablesen. Blättern Sie selbst weiter und kehren Sie ruhig alle paar Wochen auf diese Seite zurück, um die Neuerungen zu finden!




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Kontaktbeschränkungen sind äußerst wirksam

Eine Ende März 2020 zufällig gefundene Info-Grafik behauptet mit Zeichnungen von jeweils passend vielen menschlichen Silouhetten, dass bei ungehemmter Virusausbreitung ausgehend von einem (jedem) Virusträger binnen 30 Tagen 406 Infizierte entstehen. Eine Reduzierung der Kontakte um 50 Prozent halbiert diese Zahl nicht nur, sondern führt nur noch zu 15 Infizierten - einer beeindruckenden Verbesserung! Und eine Reduzierung der sozialen Kontakte um 75 % lässt binnen Monatsfrist die Anzahl der Angesteckten nur noch auf etwa insgesamt 2,6 Infizierte anwachsen, wird dort behauptet. Natürlich wollte ich nachprüfen, ob diese Behauptung korrekt ist - und konnte es mit einem Tabellen-Arbeitsblatt tatsächlich bestätigen:

Bildschirmfoto mit geöffneten Tabellen-Arbeitsblatt "Lebensrettender Abstand"

Das Arbeitsblatt ist (für MS Excel, Open Office Calc bzw. Libre Office Calc, Planmaker [z.B. aus Softmaker Free Office], Gnumeric Portable oder für jedes andere Tabellenkalkulationsprogramm) hier herunter ladbar ("speichern") oder auch direkt zu öffnen:

Tabellenkalkulations-Arbeitsblatt LebensrettenderAbstand.xls (ca. 425 kB)

Zu beachten ist allerdings, die Reduzierung der Kontakte richtig vorzunehmen: Wer sich bisher einmal pro Woche mit vier Freund(inn)en A, B, C, D zu fünft getroffen hat, und sich wegen der Beschränkung jetzt montags nur mit A, dienstags mit B, mittwochs mit C und donnerstags mit D jeweils zu einer Zweiergruppe mit wenig Abstand trifft, hat die Kontakte ja keineswegs reduziert: Er/Sie wirkt nach wie vor als Verbindungsglied von 5 Bekanntenkreisen, denn eine Infektion z.B. im Umfeld von C wird innerhalb einer oder zwei Wochen durch die Zweiertreffen nacheinander auch an alle anderen Freunde (und über diese wieder an deren Bekannte) weiter gegeben. Aber auch, wer verantwortungsbewusst kaum noch oder gar keine Freunde mehr trifft, reduziert die Kontakte nicht so stark, wie wahrgenommen, weil ja noch immer viele unbeabsichtigte, oft aber kaum vermeidbare Kontakte mit Entgegenkommenden auf dem Fußweg, in öffentlichen Verkehrsmitteln, bei der Arbeit, beim Einkaufen, bei nötigen Arztbesuchen usw. stattfinden. Hier hilft, nicht mehr alle ein bis zwei Tage, sondern nur noch 1 bis 2 mal pro Woche und in möglichst wenigen Geschäften einzukaufen. Die Info-Grafik zeigt jedenfalls deutlich, dass sich das verordnete social distancing extrem lohnt!

Und wer noch Argumente für die zusätzliche Benutzung eines Mund-Nase-Schutzes sucht, findet (auch ohne eigenes Konto) anschauliche Argumente z.B. auf Twitter oder Facebook. Wobei die Maske natürlich immer auch die Nase verdecken muss!




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Wachstumsmodelle

Wegen der Corona-Krise sind mathematische Modelle gefragt, die die Ausbreitung von Krankheitserregern zutreffend beschreiben und vorhersagen können, damit man nötige Maßnahmen ergreift und sich auf Kommendes einigermaßen vorbereiten kann. Ich biete dafür ein Tabellenblatt an (im alten Excel-Format, das auch von neuen Tabellenkalkulations-Programmen verschiedenster Hersteller geöffnet werden kann). Die hellgrüne Kurve der täglichen Zuwächse ist die in letzter Zeit so oft gezeigte: entweder hoch und spitz oder etwas nach rechts verschoben, breiter und niedriger - hier zwischen dem 60. und 80. Tag:

Bildschirmfoto einer Tabellenkalkulations-Mappe

Durchgespielt sind vier grundlegende Wachstumstypen, wobei das logistische Wachstum die Krankheitsausbreitung am besten beschreibt. Auf einem eigenen Blatt in der Datei (zweiter Reiter der Arbeitsmappe) sind Erklärungen, Beispiele, die Beschränkungen der Modelle sowie Verbesserungsvorschläge genannt. Im dritten Blatt sind die vorgestellten Tabellen für Ihre eigenen Experimente und Ergänzungen frei gegeben. Achtung: obwohl die Ausbreitungsrate in den letzten Tagen weiter gefallen ist und aktuell (29.3.2020) offenbar 'nur noch' bei f = 0,16 liegt, habe ich die gezeigten Graphen noch mit f = 0,25 berechnet (s.o.). Die Parameter können aber von Ihnen verändert werden, wenn Sie die Datei (herunter laden, also speichern und) öffnen:

Tabellenkalkulations-Arbeitsmappe VierWachstumsmodelle.xls (ca. 230 kB)

Wichtig: Die stärksten Zuwächse und schlimmsten Fall- und Todeszahlen kommen erst noch. Für Entwarnung oder Nachlassen im Ansteckungsschutz besteht auch in Deutschland überhaupt kein Anlass! (Stand 29.3.2020, siehe aber auch nächster Abschnitt - als zweites Blatt der nachfolgenden Tabellen-Arbeitsmappe "FlacheNeuinfektionskurve" gibt es übrigens auch ein verbessertes Corona-Modell, das logistisches Wachstum nur mit den aktuell ansteckenden Infizierten statt mit allen simuliert)

Ergänzung vom Juli 2020: Seit kurzem bietet der Autor von MatheAss ein Zusatzprogramm an, mit dem man eine ausgleichende logistische Wachstumsfunktion durch Messwerte legen kann. Näheres am Ende des Abschnitts "Entspricht ein Hundjahr sieben Menschenjahren?" weiter unten auf dieser Seite.


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Neuinfektionskurve flach halten
um das Gesundheitssystem nicht überfordern
('flatten the curve')

Insbesondere zu Beginn der Schulschließung Mitte März 2020 und der eine Woche später verordneten Kontaktbeschränkungen wurden in den Medien Kurven der nachfolgenden Art gezeigt - allerdings ohne konkrete Werte auf den Achsen. Um das Gesundheitssystem nicht zu überlasten, sollte die Zahl der täglichen Neuinfektionen so stark gesenkt werden, dass auch die ca. 15 % schweren Fälle noch einen Krankenhausplatz und der noch geringere Anteil der Patienten, die Atemhilfe brauchen, ein freies Beatmungsgerät finden. Während bei ungehinderter Corona-Ausbreitung schon Ende April mit täglich bis zu einer halben Million Neuinfizierter gerechnet werden musste, haben die getroffenen Maßnahmen gegriffen. Die Gesamtzahl der Infizierten verdoppelt sich nicht mehr alle drei Tage (wie in der ersten Märzhälfte), sondern die Verdoppelungszeit betrug um den 9. April herum in Deutschland etwa 11 Tage. Der tägliche Zuwachsfaktor ist von über 25% (f=0,25) auf 6,5% (f=0,065) gesunken. Gerade weil die Maßnahmen so erfolgreich sind (s.o.: 'Kontaktbeschränkungen sind äußerst wirksam'), verschiebt sich die zu befürchtende Zuwachsspitze aber immer weiter nach hinten (und würde jetzt erst Mitte Juni mit dann fast 150.000 Neuinfizierten pro Tag zu erwarten sein). Die Zuwächse und Anzahlen sind im Moment (12.4.2020) noch so gering, dass viele schon gar nicht mehr an einen dramatischen Anstieg glauben, der ja früher mal für die Zeit um Ostern angekündigt wurde. Selbst Krankenhauspersonal und Ärzte, die mit viel Mühe Intensivbetten frei gemacht (und andere Operationen verschoben) haben, fragen sich, ob die Befürchtungen stimmen. Geht man - nach Harald Lesch (s.o) - davon aus, dass 40.000 bis max. 60.000 tägliche Neuinfizierte vom Gesundheitssystem verkraftet werden können (weil ja nur ein Teil stationär oder gar intensiv behandelt werden muss), bleiben im Moment noch mehr als die Hälfte der geschaffenen Plätze leer! Tatsächlich werden jetzt ja Patienten aus dem Ausland eingeflogen, weil es in Deutschland jetzt noch viel freie Kapazität gibt. Ende Juni könnten aber 2 von 3 Patienten nicht mehr angemessen behandelt werden.

Bildschirmansicht flache Neuinfektionskurven

Ob ein weiteres Absenken der Ansteckungsrate möglich ist, erscheint am 12. April 2020 allerdings fraglich: Jetzt in den Ostertagen wird offenbar die Kontaktbeschränkung doch von einigen nicht wirklich ernst genommen, und insgesamt tritt Müdigkeit ein - zumal auch die Nebenwirkungen der Einschränkungen immer deutlicher werden. In den Zahlen wird sich der Osterkontakt allerdings erst mit 5 bis 7 Tagen Verspätung bemerkbar machen. Geringere Ansteckung bedeutet leider automatisch auch längere Dauer der Corona-Ausbreitung!

Tabellenkalkulations-Arbeitsblatt FlacheNeuinfektionskurve.xls (560 kB) zum Herunterladen und Ausprobieren

Tatsächlich liegen dem verwendeten logistischen Wachstums-Modell einige vereinfachende Annahmen zu Grunde (die ausführlich unter dem zweiten Reiter der oben vorgestellten und ebenfalls zum Download angebotenen Tabelle VierWachstumsmodelle.xls genannt sind), sodass bei besserer Modellierung die Zahlen vielleicht doch nicht ganz so dramatisch, aber sicher nicht um Größenordnungen besser werden. Wenn demnächst mehr getestet wird, steigen zwar gegenüber meinen Angaben die bestätigten Werte von Anzahl und Zuwachs; die Zahl der behandlungsbedürftigen Patienten wird zum Glück nicht mit steigen: Die Patientenzahl ist ja auch jetzt sicher erfasst und gut bekannt. Der Prozentsatz bezogen auf die Menge der Positiv-Bestätigten wird bei mehr Tests und mehr Bestätigten abnehmen. Dann werden die Plätze eben für eine größere bestätigte Zahl Neuinfizierter (aber letztlich die gleiche Zahl tatsächlich Neuangesteckter) reichen.

Problematisch bleiben die Ausstiegsszenarien:

Die Rechnungen zeigen: Leider gibt es keinen Königsweg. Regierende können keine leichte oder gute Alternative wählen oder einen Weg finden, der uns gesund und froh macht, sondern haben höchstens die Auswahl zwischen verschiedenen immer sehr unangenehmen Szenarien.




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Reproduktionszahl R
und Sieben-Tage-Inzidenz

sowie (chronologisch) Beobachtungen während der Pandemie

Anfang Mai 2020 hatte sich gezeigt, dass die Kontaktbeschränkungen (trotz meiner oben noch vorgetragenen Skepsis zu Ostern) offenbar doch von vielen so gut eingehalten werden, dass sich die Ausbreitung der Corona-Pandemie in Deutschland spürbar verlangsamt hat und täglich nur noch ca. 1000 durch positive Tests nachgewiesene Neuinfektionen oder sogar etwas weniger dazu kommen, obwohl schon wieder viele Geschäfte geöffnet haben und -- wenn auch mit Mund-Nasen-Schutz ("Alltagsmaske") und Abstand -- schon wieder viel mehr Aktivitäten möglich sind. Ab 11.5.2020 sollen auch weitere Lockerungen folgen, u.a. soll allmählich wieder Präsenz-Schulunterricht in kleinen Gruppen stattfinden (in Nordrhein-Westfalen hatten Q2-Schüler[innen] schon vorher 'Live'-Unterricht als letzte Abi-Vorbereitungen).

Wenn die Zahl der Neuinfektionen jetzt (d.h. im Mai 2020) schon mehrere Tage fast konstant ist, liegt natürlich kein exponentielles Wachstum mehr vor, sondern eher lineares Wachstum (vgl. die oben dargestellten Wachstumsmodelle). Entsprechend können und dürfen Kenngrößen des exponentiellen Wachstums, wie etwa die nur für exponentielles Anwachsen charakteristische Verdoppelungszeit, nicht mehr verwendet werden (ab Mitte April 2020 hatte man noch von Verdoppelungszeiten von 11, dann 30 und zuletzt von mehr als 60 Tagen gehört). Stattdessen wird inzwischen allgemein die Reproduktionszahl R herangezogen, die unabhängig vom Wachstumsmodell angibt, wie viele Gesunde ein Infizierter bzw. eine Infizierte im Mittel ansteckt. Die Zahl ist nicht neu; weiter oben im Abschnitt "Kontaktbeschränkungen sind äußerst wirksam" war sie bereits unter dem Namen Ansteckrate verwendet und angegeben worden.

Prinzipiell ist R leicht zu berechnen: Man muss eigentlich nur gucken, wie viele Neuinfizierte Nt heute (am Tag t) gemeldet werden, und wie viele Neuinfizierte Nt-5 fünf Tage früher angegeben wurden. Dann errechnet sich die heutige Reproduktionsrate Rt als Rt = Nt / Nt-5 . Der Teufel steckt wie immer im Detail:

Weil Politiker beim Lockerungswettlauf im Mai 2020 natürlich gerne aktuellere Werte haben wollten, versuchte das RKI durch Trendverlängerung, Schätzen und Vermutungen aus den errechneten Zahlen auf eine wahrscheinliche aktuelle Reproduktionsrate zu extrapolieren (NowCast-Verfahren)
(Nachtrag Juni 2020: Das NowCast-Verfahren wurde offenbar nur in der ersten Maihälfte 2020 angewendet; neue Lockerungen machten eine Vorhersage aufgrund alter Daten zum unseriösen Glücksspiel. Jedenfalls berechnet das RKI seither den Reproduktionsfaktor R einfach aus der Summe der Neuinfektionen der letzten 7 Tage, dividiert durch die 7-Tages-Summe von vier Tagen früher)

Für den Muttertag 10.5.2020 wurde auf diese Weise schon für den zweiten Tag in Folge ein R von knapp über 1 angegeben (nach einigen Tagen mit erfreulichem R < 1). Wenn R aber über 1 liegt, beschleunigt sich das Wachstum wieder und die Pandemie wächst neuerlich exponentiell (wenn zunächst auch langsam, bald aber anschwellend). Auf einer Webseite von Zeit-Online findet sich eine interaktive Simulation, bei der man mit einem Schieberegler verschiedene Werte von R einstellen kann und die resultierende Anzahl der Infektiösen in den nächsten Monaten sehen kann. Dabei ist die Zahl der Infektiösen die Anzahl der in den jeweils letzten 4 bis 12 Tagen Neuinfizierten - also die Zahl, die auch auf dem Blatt 'Corona-Modell' meiner Tabellenkalkulation-Mappe "FlacheNeuinfektionskurve" jeweils in Spalte E als 'davon ansteckend' angegeben wurde). Selbst beim auf den ersten Blick recht harmlos erscheinenden R = 1,1 würde die Zahl der Ansteckenden allmählich immer stärker steigen und im April 2021 mehr als 200.000 Personen umfassen, wobei damit das Maximum noch gar nicht erreicht wäre. Davor hat unlängst die Bundeskanzlerin zu Recht gewarnt! Würden wir sogar wieder auf R = 2,5 kommen (wie in den ersten März-Wochen), wären schon Ende Juli/Anfang August 2020 fast 15 Millionen Kranke ansteckend und Gesundheitssystem und Gesellschaft brächen völlig zusammen.

Deshalb ist es wichtig, gerade jetzt wegen der eingeführten Lockerungen durch eher verstärktes Beachten von Mindestabständen und Hygieneregeln die Reproduktions- bzw. Ansteckungsrate klein zu halten. Wenn mehr Kontakte möglich sind, muss bei jedem einzelnen Kontakt die Übertragungswahrscheinlichkeit verringert werden. Es ist also kein Widerspruch, sondern tatsächlich bittere Notwendigkeit, wenn zu Beginn der Lockerungen für viele Bereiche die Maskenpflicht auferlegt wurde. Leider werden diese Zusammenhänge nicht öffentlich erklärt oder ordentlich vermittelt; viele Menschen, und traurigerweise auch viele Politiker und Wirtschaftsvertreter, aber auch sehr viele Journalisten, sehen angesichts aktuell vergleichsweise niedriger Neuinfektionszahlen und geringer Auslastung der Krankenhäuser sowie durch zunehmendem Wegfall äußerer Beschränkungen offenbar auch Hygiene- und Abstandsgebot als überholt an: So quellen Politiker aus einem vollbesetzten Aufzug, bevor sie für die Kameras einen Mundschutz aufsetzen. Die andauernde Bedrohung wird verkannt und verharmlost. Unser Individualismus und Egozentrismus führt ohne Wissen und Einsicht zu Anti-Corona-Demos und treibt zu den auf drlima.net karikierten Meinungen und Ansichten. Deshalb nochmal: äußere Lockerungen müssen durch verstärkten Ansteckungsschutz kompensiert werden, wenn die Pandemie beherrschbar bleiben soll.

Hier zeigt sich das Dilemma der augenblicklichen Situation (geschrieben Anfang Mai 2020). Bei kleinem R kann in absehbarer Zeit keine Herdenimmunität erreicht werden. Und eigentlich will niemand in den nächsten 2 bis 3 Jahren mit Mundschutz rumlaufen, immer Abstand halten und seine Kontakte weiterhin so stark einschränken. Andererseits ist das bis zum Finden einer wirksamen Therapie oder Entwicklung eines nachhaltigen Impfschutzes vermutlich unumgänglich. Bei einem R deutlich unter 1 könnte zwar die Krankheit bei uns vorübergehend zum Stillstand kommen und das könnte für kurze Zeit ein fast normales Leben wie früher erlauben; jede unerkannte oder eingeschleppte Infektion wird aber zu einem erneuten Ausbruch und Aufflammen exponentiellen Wachstums führen - insbesondere, wenn die Lage nicht mehr als bedrohlich wahrgenommen wird und Vorsicht unterbleibt. Bei der Spanischen Grippe ab 1918 sind erst in der zweiten und dritten Welle, über ein Jahr nach dem ersten Ausbruch und nachdem man die Krankheit schon fast für besiegt gehalten hat, die meisten Menschen gestorben - mehr, als es Gefallene und Tote im Ersten Weltkrieg gab.

Offenbar wird ab Sommer 2020 angestrebt, äußere Verbote zwar weiterhin zu lockern und allgemein mehr Wirtschafts-, Schul-, Sport- und Freizeitbetrieb zu ermöglichen, dabei aber das Infektionsgeschehen genau zu beobachten, um bei punktuell erhöhter Ansteckung sofort lokal zu reagieren, um ein Weitertragen des Virus' zu verhindern. Dies setzt aber voraus, dass nach wie vor die Reisetätigkeit beschränkt bleibt, damit ein Wiederaufflammen nicht schon in andere Gegenden exportiert wurde, bevor der Ausbruch erkannt wird. Ggf. sollen "Infektionsketten verfolgt" werden, was bedeutet, dass die Bewegungen der Menschen nachvollzogen werden müssen. Ob das alle Gesundheitsämter schaffen, ohne oder vielleicht demnächst auch mit Corona-App, kann angezweifelt werden. In Frankreich sollen etwa die Departements als grün (wenige Infektiöse) und rot (zuviele Fälle) gekennzeichnet werden. Dann will man Fahrten und auch Urlaubs-Reisen aus grünen in andere grüne Gebiete erlauben und nur Ein- und Ausreisen in/aus roten Gebieten beschränken. Wie das überwacht bzw. umgesetzt werden soll, ist noch unbekannt. Frankreich sieht die Idee aber als Modell für die ganze EU.

Auch die in Deutschland im April/Mai 2020 vereinbarte willkürliche Grenze von 50 Neuinfektionen innerhalb einer Woche pro 100.000 Einwohner (Sieben-Tage-Inzidenz), deren Überschreiten Städte und Kreise zur Wiedereinführung schärferer Maßnahmen zwingen soll, ist problematisch: Einmal schafft eine solche Grenze keinen Anreiz für eine flächendeckende Testung der Bewohner - im Gegenteil: da mit einer Dunkelziffer (anfangs bis zum Zehnfachen der bestätigten Fälle) gerechnet wurde, würden mehr Tests vermutlich schnell zum Überschreiten der Grenze führen (obwohl in Wirklichkeit kein einziger Mensch mehr krank wäre als vor dem Screening). Werden dann im Kreis wieder Schulen, Sportstätten und Geschäfte vorübergehend geschlossen, muss befürchtet werden, dass die Bewohner zum Einkaufen oder in der Freizeit in die noch offenen Nachbarkreise fahren und so das Virus großflächiger verbreiten, als ohne die neuen Eindämmungsmaßnahmen. Überdies zwingt etwa ein Ausbruch in einer Firmen-Massenunterkunft, einem Wohn- oder Altenheim, möglicherweise selbst dann zu einem Shutdown im ganzen Kreis oder einer ganzen Stadt, wenn die Angesteckten schon weitestgehend von der restlichen Bevölkerung isoliert gelebt haben und die wenigen Kontakte nach außen überwacht bzw. in Quarantäne geschickt werden könnten, ohne dass Gefahr für die ganze Bevölkerung besteht. Angesichts heute leider oft ausgelebtem dumpfen Wutbürgertums müssten gar Hass-Ausbrüche gegen die Heimbewohner befürchtet werden. [Tatsächlich sollten Verbesserungen der Standards und der Wohnsituation in allen Heimen den Bewohnern ein menschenwürdigeres Leben ermöglichen und würden gleichzeitig das Übertragungsrisiko verringern.]

Die Wissenschaft - ob Virologie oder hier die Mathematik - kann Zusammenhänge erkennen und (Natur-)Gesetzmäßigkeiten heraus stellen, vielleicht auch die Folgen verschiedener Vorgehensweisen rational abschätzen. Politische Entscheidungen sollten diese Erkenntnisse berücksichtigen und nutzen, werden aber nicht von der Wissenschaft getroffen. Und leider kann die Wissenschaft keinen einfachen (Aus-)Weg herbei zaubern, wenn ein solcher nicht existiert.

Die ab Mitte September/Anfang Oktober 2020 wieder deutlich erhöhten Neuinfektionszahlen (am 7.11.2020 an einem Tag über 23.000 gemeldete Neuinfizierte in Deutschland!) zeigen leider: Nach über eine halben Jahr Corona in Deutschland tritt nicht nur Gewöhnung an die bzw. Abstumpfung gegenüber der Gefahr ein; vielmehr wird der Wunsch nach der früheren Normalität und mehr Kontakten bei manchen so übermächtig und führt trotz nach wie vor vorhandenem bzw. sogar inzwischen auf bisher unbekannte Höhen angestiegenem Risiko zu nachlässigerer Einhaltung der Schutzmaßnahmen. Viele halten die gebotenen Abstände nicht ein und wollen wieder nahe mit- bzw. zwischenmenschliche Kontakte. Der Beginn der kalten Jahreszeit mit mehr Aufenthalt in geschlossenen Räumen, in denen sich die Aerosole leichter ausbreiten bzw. halten und wieder eingeatmet werden, tut ein Übriges. Insofern war die Verschärfung der bundesweit angeordneten Corona-Schutzmaßnahmen für den November 2020 unvermeidlich und eigentlich schon früher nötig. Dass man nicht allein auf die Vernunft Aller vertrauen kann, zeigten die schnell noch in großen Gruppen begangenen Restaurantbesuche und vielen privaten Parties am Wochenende vom 30.10. bis 1.11.2020, "solange man noch darf", bevor am 2.11.2020 der so genannte Teil-Lockdown in Kraft trat. Dessen positive Auswirkungen können sich allerdings erst ab etwa dem 20.11. in den Messzahlen niederschlagen. Insofern zeugt es auch eher vom Unverstand der Politikerin, wenn z.B. die nordrhein-westfälische Schulministerin in der letzten Oktoberwoche 2020 beruhigend verkündet, in den Schulen gebe es nach den aktuellen Werten praktisch keinerlei Infektionsgeschehen -- Kunststück: die 14-tägigen Herbstferien waren erst wenige Tage vorbei und eventuelle Ansteckungen in den Schulen nach Wiederbeginn des Unterrichts konnten wegen der Inkubationszeit und Meldeverzögerung noch gar nicht erfasst sein. Insgesamt gibt es z.Z. leider wenig Anlass zu Optimismus. Und die Entwicklung im Winter 2020/201 bestätigt leider meine Meinung vom Oktober 2020.

Ende Februar/Anfang März 2021 bin ich sehr erstaunt, dass immer noch so wenige gesicherte Erkenntnisse über die verschiedenen Ansteckungswege vorliegen, obwohl die Pandemie bei uns schon über 1 Jahr wütet und hätte untersucht werden können. Jedenfalls sind keine Ergebnisse bekannt. Während einige Gesundheitsämter sicher gute Arbeit leisten, scheinen leider auch viele Gesundheitsämter nach wie vor mit der Rückverfolgung heillos überfordert und/oder wollen oder können Zusammenhänge nicht aufspüren. Dabei gibt es durchaus weitere Möglichkeiten, wie etwa ein Artikel auf web.de beweist, der einfach durch Inzidenz-Vergleiche zeigt, dass sich Teilnehmer an Quer-"denker"-Demos verstärkt anstecken und in ihren Heimatkreisen die Fallzahlen erhöhen. Auch liest man, dass in Kläranlagen in den gesammelten Abwässern die Viruslast festgestellt werden könnte, und man so schnell und zuverlässig erkennt, ob es im Einzugsgebiet viele oder wenige Ansteckende gibt. Aber man hört nichts davon, dass diese Möglichkeiten auch wirklich eingesetzt würden. Als Physiker bin ich enttäuscht, dass die Ende Februar/Anfang März 2021 eingeräumten Lockerungen nicht für naheliegende Versuche genutzt wurden: Statt bundesweit gleichzeitig ab 22.2.2021 wieder Kitas, Grundschulen und Abschlussklassen für Präsenz-Unterricht zu öffnen und eine Woche später die Frisöre und Gartencenter, wäre ein geteiltes Vorgehen viel sinnvoller: In einigen Ländern oder großen Gebieten werden nur die Kitas geöffnet, in anderen nur die Grundschulen, in dritten nur die Abschlussklassen, in vierten nur die Frisöre, in anderen Gebieten nur die Textil- und Möbel-Geschäfte, usw. Dann könnte man in drei, höchstens vier Wochen wissen, welche Kontaktgelegenheiten ein höheres Ansteckungsrisiko tragen (und die Vorschriften dort verschärfen) und was man endlich wieder weitgehend bedenkenlos öffnen könnte. Mitte März 2021 hätte man Bescheid gewusst. Diese Chance wurde vertan. Im Wochen- oder zwei Wochenabstand werden überall die gleichen, mehrfachen Lockerungen zugelassen, und beim zu erwartenden Anstieg der Inzidenzen weiß man dann wieder und immer noch nicht, was der/die Hauptauslöser ist/sind. Auch wenn man den Eltern und Kindern in den meisten Gebieten vielleicht nicht unbedingt zumuten will, noch länger auf Präsenzunterricht zu warten, während in einigen anderen Gebieten die Schule testweise schon beginnt -- diese Tests wären in kurzer Zeit (nämlich Mitte März 2021!) abgeschlossen. Statt dessen werden wir weiter ahnungslos bleiben und vermutlich bis weit in den Juli 2021 weitestgehende Einschränkungen auch eigentlich harmloser Kontaktmöglichkeiten erdulden müssen und insgesamt viel stärkere persönliche und wirtschaftliche Auswirkungen spüren, viele davon unnötigerweise. Der Vorteil der flächenmäßig getrennten Tests wäre meiner Meinung nach daher durchaus vermittelbar, auch wenn mancher den frischen Haarschnitt im eigenen Gebiet vielleicht gerne gegen Präsenzunterricht oder Zoobesuche getauscht hätte. Entsprechender Tourismus müsste allerdings unterbunden werden (Leider gibt's in der Überwachung der verordneten Maßnahmen immer noch erhebliche Defizite. Nichtmal Quarantäne-Anordnungen und Einreisesperren werden ordentlich überwacht; angeblich fehlende gesetzliche Grundlagen wurden seit über einem Jahr nicht mal in Angriff genommen). Jedenfalls hätte man mit meinen Versuchen verschiedener Lockerungen in getrennten Gebieten bis Mitte/Ende März Bescheid gewusst und anschließend in vielen Bereichen Lockerungen erwarten dürfen, statt vermutlich wieder allgemeine und lange Verschärfungen hinnehmen zu müssen. (Am 3./4. März 2021 wurde der allgemeine Lockdown gerade mit einem ebenfalls wieder bundesweiten Stufenplan bis zum 28.3.2021 verlängert. - Eine weitere Verlängerung bis zum 18.4. und wieder eine Verschärfung kam kurz vor Ostern 2021 ins Gespräch!

Nachtrag: Noch am 12.5.2021 beklagen Wissenschaftler die nach wie vor viel zu dürftige Datenlage im 'Spektrum der Wissenschaft' bzw. einem als kostenlose pdf-Datei von dieser Seite herunter ladbaren Artikel, ohne dass Besserung in Sicht ist. Entsprechend wundert sich auch der Stern Anfang Juli 2021 über die immer noch unzureichende Datenlage und bemängelt, die Deutschen stünden sich selbst im Weg.

Ganz zu schweigen davon, dass sich manche Menschen und/oder Bevölkerungsgruppen zunehmend weniger an die Beschränkungen halten und damit in die (noch) große Mehrheit, die weiterhin sehr vorsichtig ist, immer wieder Ansteckungen hinein tragen und die Erfolge der Beschränkungen so vernichten und damit letztlich den Lockdown für alle unerträglich verlängern. Die z.T. als chaotisch wahrgenommene Impf-Organisation und -Situation mindert außerdem das Vertrauen in die Politik und schmälert dadurch auch das Befolgen eigentlich sinnvoller Anordnungen. Einige engagierte (Ober-)Bürgermeister, die in ihren Städten durch breite Aufklärung und besondere Maßnahmen die Ansteckungen deutlich unter den Durchschnitt drücken konnten, berichten außerdem, dass durch manche erzwungene Shutdown-Maßnahmen die Fallzahlen stiegen -- etwa, weil einige Frisöre heimlich Hausbesuche machten und in schlecht gelüfteten Kellern dichtgedrängt wartende Kunden bearbeiten, statt in ihren geöffneten Geschäften kontrollierbar die Hygieneregeln einzuhalten.

Zum Glück sind die Fallzahlen offenbar wegen des Sommerwetters ab Mitte Juni 2021 deutlich gefallen, so dass umfangreiche Lockerungen möglich wurden. Darüber sollten aber jetzt weder die Vorsicht und noch die Vorbereitungen für den kommenden Herbst bzw. Winter nicht vergessen werden, wenn das Wetter nicht mehr hilft!



Aber zurück zum Thema bzw. der Überschrift dieses Kapitels "Reproduktionszahl R und Sieben-Tage-Inzidenz": Neben der Reproduktionszahl R wird inzwischen die oben schon erwähnte 7-Tages-Inzidenz veröffentlicht. Dabei handelt es sich um die Summe der Neuinfektionen in einem Kreis oder einer Stadt, dividiert durch die Einwohnerzahl in 100.000. Wurden beispielsweise in Düsseldorf in den letzten 7 Tagen am Mittwoch 193 Infektionen, am Donnerstag 211, am Freitag 228, am Samstag 151, am Sonntag 104, am Montag 125 und am Dienstag 167 Neuansteckungen amtlich erfasst, so wurden in diesen sieben Tagen 1179 Personen neu infiziert. Bei etwa 622 000 Einwohnern bzw. 6,22 * 100.000 Einwohnern ergibt das eine Sieben-Tage-Inzidenz von (193+211+228+151+104+125+167) / 6,22 = 1179 / 6,22 = 189,5. Dieser Wert liegt weit über der Marke für die Vorwarnstufe (35) und ist fast viermal so hoch wie die im Sommer festgesetzte Risiko-Grenze 50. Dabei kann wegen der verschiedenen betrachten Zeiträume die Inzidenz steigen, obwohl R zurück geht und umgekehrt. Denn oft wird die Reproduktionszahl R mit einem 4-Tages-Mittel berechnet (statt für einen 7-Tage-Zeitraum wie die Inzidenz). 4-Tages-Werte sind aber für die systembedingten Schwankungen im Wochenverlauf besonders anfällig und haben eigentlich kaum Aussagekraft (vgl. z.B. auch den Bericht von Radio Brandenburg-Berlin zur R-Ampel in der Bundeshauptstadt). Inzwischen (Juni 2021) wird der R-Wert praktisch nicht mehr verwendet oder angegeben.

Anders, als die Zahlen vermuten lassen, stecken sich nämlich am Wochenende in Wirklichkeit wohl nicht weniger, sondern eher mehr Menschen an (bei zu engen persönlichen Kontakten im Familien- und Freundeskreis, Treffen usw.), aber die Infektionen werden erst später erkannt. Am Wochenende wird weniger getestet und werden weniger Testergebnisse verschickt, sodass die offiziell gemeldeten Zahlen dann geringer sind.

Ohnehin scheinen die lokalen Gesundheitsämter oft damit überfordert, wirklich alle positiven Testergebnisse des Vortags immer vollständig ans RKI zu melden. Manchmal treffen wohl Ergebnisse verzögert ein oder wurden bei der ans RKI übermittelten Addition noch nicht berücksichtigt. Fällt ein solcher Fehler auf, werden die richtigen Zahlen noch 1 bis 3 Tage später nachgemeldet. Das RKI korrigiert dann die Inzidenz, nicht aber nachträglich den einmal veröffentlichten (und letztlich zu niedrigen) Tageswert der Neuinfektionen. Dadurch kommt es immer wieder zu scheinbar paradoxen Situationen:

Für die Anzahl der Neuinfektionen ('Differenz zum Vortag') gilt der Eingang beim RKI, der Fälle mit unterschiedlichem Meldedatum umfasst. "Das Meldedatum ist das Datum, an dem das lokale Gesundheitsamt Kenntnis über den Fall erlangt und ihn elektronisch erfasst. Die Gesundheitsämter übermitteln die Daten an die Landesbehörde, von dort werden sie ans RKI übermittelt". Bei der Berechnung der 7-Tage-Inzidenz gilt hingegen nicht das Eingangsdatum beim RKI, sondern das Meldedatum beim jeweiligen Gesundheitsamt. Das wurde mir auf meine Anfrage hin am 25.4.2021 vom RKI bestätigt und auf die Erläuterungen auf der Seite www.rki.de/covid-19-fallzahlen hingewiesen. Weiter wurde mitgeteilt, dass man im Dashboard auf http://corona.rki.de ganz unten rechts auf 'Fälle/Tag (Erkrankung)' klicken und dann 'Fälle/Tag (Meldung)' wählen kann. So kann man "sehen, wie die dem RKI am Vortag bis 24 Uhr übermittelten Fälle nach Meldedatum verteilt werden. Die Zahl der Fälle in den letzten 7 Tagen und die 7-Tage-Inzidenz kann man für jeden Landkreis und [jedes] Bundesland historisch nachvollziehen: www.rki.de/inzidenzen". Dort kann man jeden Tage ein neues Tabellenkalkulations-Dokument mit mehreren Tabellenblättern herunter laden (oder sofort öffnen). Aufgeführt sind die tagesaktuellen Inzidenzen und die Einzelwerte der jeweils letzten sieben Tage für alle Landkreise (LK) bzw. zusammengefasst für die 16 deutschen Bundesländer (BL).

Anfang Juni 2021 zogen sich Verschwörungstheoretiker daran hoch, dass für die Anwendung der bundeseinheitlichen Corona-Bremse vielleicht nicht die 7-Tages-Inzidenz (jetzt verständlicher als 'COVID-19-Fälle der letzten 7 Tage pro 1000.000 Einwohner' bezeichnet) nach Erkrankungsdatum, sondern doch nach dem Melde- bzw. Eingangsdatum beim RKI herangezogen werden soll. Schnell machte die völlig abwegige Behauptung die Runde, nur durch diesen Statistik- bzw. Rechentrick wären die Fallzahlen seit Ende Mai so stark gesunken (vgl. etwa web.de-Magazin vom 10.6.2021). Tatsächlich kann es zwar zu geringfügigen Verschiebungen kommen; im mehrtägigen Mittel sind beide Werte natürlich gleich hoch! Und das erfreuliche Absinken der Fallzahlen hat mit dem Sommer und nicht mit vermeintlichen Rechentricks zu tun!

Allgemein sind nämlich beide 7-Tages- Inzidenz-Werte sehr verlässlich und viel aussagekräftiger als die gelegentlich zu niedrigen Angaben der Neuinfektionen nur für den letzten Tag.

Kleinere Abweichungen zwischen den vom RKI und den lokal veröffentlichten Inzidenz-Werten gibt es außerdem, weil Städte oder Kreise mit Bevölkerungswachstum gerne die für sie günstigeren höheren letzten geschätzten Einwohnerzahlen verwenden, während das RKI die letzte amtliche Einwohnerzahl nimmt, wie ein Faktencheck des Bayerischen Rundfunks berichtet. Der Norddeutsche Rundfunk gibt auf einer Info-Seite Auskunft, wie im Sender die Coronazahlen berechnet werden - und benennt am Schluss auch mögliche Ursachen für weitere Abweichungen zwischen den Berechnungen durch verschiedene Stellen.




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 Angewandte Mathe-Aufgaben zur Corona-Pandemie:
Weit über 40 Tote durch ein Fußballspiel,
Fälle durch Quer-'denker'-Demos

In den vorstehenden 5 Kapiteln zu Corona-Themen wurden bereits viele mathematische Verfahren und Rechenwege vorgestellt. Die Besucherinnen und Besucher meiner Webseite sollen angeregt werden, mit jeweils aktuellen und /oder ihren lokalen Zahlen diese oder ähnliche Rechnungen selbst durchzuführen und die in Medien nicht immer vollständig oder korrekt wiedergegebenen Ergebnisse persönlich zu überprüfen, um sich ein eigenes, verlässlicheres Bild der Lage zu machen. Lehrerinnen und Lehrer möchte ich ermutigen, entsprechende Inhalte und Überlegungen in ihrem Mathematik-Unterricht aufzugreifen und aktuelle Ereignisse stets in den Unterricht einzubeziehen. Die für die Erarbeitung der Sachzusammenhänge zusätzlich aufzubringende Zeit wird durch die erreichte Motivation und den besseren Lernerfolg mehr als wett gemacht! [Ein ganzes Stück weiter unten auf dieser Seite finden Sie in den Kapiteln über Anwendungsbezug und Realitätsnähe in der Mathematik (bzw. eigentlich besser: im Mathematik-Unterricht) und bei der Vorstellung der MUED mehr über meine hier vertretene und jahrzehntelang erfolgreich praktizierte Auffassung].

Die erste Coronawelle im Frühjahr 2020 hatte im März 2020 zu den ersten Kontaktbeschränkungen bzw. zum Lockdown geführt. Trotzdem hatte am 11. März 2020 direkt vor Inkrafttreten des schon angekündigten Verbots von Großveranstaltungen noch das Champions-League-Spiel zwischen dem FC Liverpool und Atletico Madrid vor 52 000 Zuschauern im vollbesetzten Liverpooler Stadion ohne Masken, Abstände oder irgendwelche Vorsichtsmaßnahmen stattgefunden. Ende Mai 2020 wurde dann berichtet, dass Analysen mindestes 41 Corona-Todesfälle und eine Vielzahl von Erkrankungen auf dieses Ereignis zurückführen - jetzt (im April 2021) noch nachzulesen z.B. im Spiegel, in der Welt oder auf t-online.

Antonius Warmeling, in Fachkreisen seit Langem für seine guten anwendungsorientierten Unterrichtsvorschläge bekannt, hatte das Thema für den Mathematik-Unterricht aufgegriffen und ausgearbeitet, damit Schülerinnen und Schüler die Analyse im Unterricht selbst durchführen bzw. nachvollziehen können. Leider wird seine Arbeit erst jetzt, ein Jahr nach dem Spiel und 10 Monate nach der Analyse, der Öffentlichkeit zugänglich: Der Artikel ist in der Ende März 2021 ausgelieferten Papierausgabe der Zeitschrift Casio Forum, Ausgabe 1 / 2021, ab Seite 6 nachzulesen. Anfang Mai 2021 war die Zeitschrift noch nicht online verfügbar; in Kürze dürfte aber das Heft wie alle früheren Ausgaben des Casio Forums über die Casio-Material-Datenbank abrufbar sein (Ergebnisliste leider nicht chronologisch). Da die Zeitschrift für Lehrer nur zweimal im Jahr vom bekannten Taschenrechner-Hersteller heraus gegeben wird, war ein zeitnahes Erscheinen des Artikels nicht möglich.

Jedenfalls kann man mit dem Casio-Classpad durch Auswertung und Vergleich von Daten dreier Krankenhäuser (in Liverpool und Manchester) statistisch mindestens 41 Tote auf Ansteckungen beim Fußballspiel zurückführen -- wobei die Rechnungen natürlich auch auf CAS-Rechnern anderer Fabrikate oder mit einem Tabellenkalkulationsprogramm auf dem Laptop oder PC durchgeführt werden können. Die verwendeten Fallzahlen sind inzwischen öffentlich zugänglich; Quellen werden im Artikel genannt. Die Rechnungen zeigen, dass die Zahl 41 eher vorsichtig angesetzt ist, weil sie sich allein auf die lokalen Fans bezieht. Die aus anderen Landesteilen Englands oder gar die 12 000 aus Spanien angereisten Fans wurden gar nicht einbezogen, obwohl es unter ihnen sicher auch viele Infizierte und später Todesfälle gegeben hat. Und natürlich haben viele infizierte Stadionbesucher das Corona-Virus zu Hause weiter verbreitet und sind so für weitere, hier nicht erfasste Infektionsketten, Kranke und Tote verantwortlich.

Wer jetzt ein aktuelles Beispiel prüfen bzw. von/mit seinen Schülerinnen und Schülern untersuchen lassen will, könnte versuchen, die Ansteckungen und dadurch induzierten Todesfälle zu verfolgen, die bei den jüngsten "Anti-Coronaschutz- & Quer'denker'"-Demos am 20.3.2021 in Kassel (20.000 Teilnehmer) oder gerade am Ostersamstag, 3.4.2021 in Stuttgart-Bad Cannstatt (10.000 bis 15.000 Teilnehmer) verursacht wurden (Berichte z.B. vom Südwestrundfunk, der Zeit oder der Hessisch-Niedersächsischen Allgemeine, der Tagesschau und der Frankfurter Rundschau). Ein paar Wochen später wird man signifikante Erhöhungen der Fallzahlen in den Wohngebieten der Demonstranten finden. Die Schwierigkeit besteht darin, die Herkunft der Teilnehmer zu ermitteln. Ob der Veranstalter auf Anfrage auskunftsfreudig ist? Ein Versuch ist es wert. Im Artikel auf web.de, den ich schon im vorigen Kapitel angeführt hatte, wurde über eine Analyse des Leibniz-Zentrums für Europäische Wirtschaftsforschung berichtet, wo man zusammen mit der Humboldt-Universität Berlin zur Herkunftsbestimmung die gecharterten Busse verfolgt hat: Zwei "Quer-'Denker'"-Demos im November 2020 haben danach zwischen 16.000 und 21.000 zusätzliche Covid-19-Infektionen auf dem Gewissen! Von solchen Veranstaltungen gehen unbestreitbar massive Gefahren aus, und es ist mir trotz des hohen Guts des Demonstrationsrechts unverständlich, dass man in Zeiten von Lockdown und scharfen Kontaktbeschränkungen wegen der dritten Welle solche Zusammenrottungen genehmigt bzw. genehmigen muss, die Einhaltung der Regeln aber nicht durchsetzt. In Frisörläden müssen Listen mit den Kontaktdaten der Kunden geführt werden. Eine überwachte Vorab-Erfassung der Namen und Adressen aller Demo-Teilnehmer für die Kontaktnachverfolgung erscheint ebenso überfällig wie eine konsequente, sofortige Bestrafung aller Masken- und Abstandsverweigerer.



.. und viele Erkrankte durch die Fußball-Europa-Meisterschaft
(EM bzw. UEFA Euro 2020)

Die auf die Zeit vom 11. Juni bis 11. Juli 2021 verschobene Fußball-EM (die eigentlich schon 2020 hätte stattfinden sollen, und deshalb noch unter UEFA Euro 2020 firmiert) bewirkt bereits in der Gruppenphase einen signifikanten Anstieg der Corona-Zahlen: Allein in Schottland werden knapp 2000 Fälle auf ein Fußballspiel Schottland gegen England am 18.6.21 im nur zu etwa einem Drittel gefüllten Londoner Wembley-Stadion zurück geführt; finnische Fans brachten von zwei Fußballspielen ihrer Mannschaft im russischen St. Petersburg offenbar mindestens 436 Ansteckungen zurück (vgl. FAZ oder Bericht auf t-online). Nicht gezählt sind jeweils die sicher noch mehr Krankheitsfälle an den Stadionorten bzw. bei den Fans der gegnerischen Mannschaften sowie die vielen Ansteckungen europaweit beim gemeinsamen Angucken von Fernsehübertragungen, lokalen Siegesfeiern usw.

Die beiden Halbfinalspiele (am 6. und 7. Juli 2021) und das Endspiel am 11. Juli 2021 im dann mit jeweils ca. 60 000 Zuschauerinnen und Zuschauern nahezu vollbesetzten Wembelystadion lassen noch viel Schlimmeres erwarten. Dass die UEFA verantwortliche Politiker z.B. mit Androhung der Verlegung der letzten Spiele von England nach Ungarn erpressen konnte, in London eine so großes Publikum zuzulassen, hat weltweit viel Kritik ausgelöst, aber am unverantwortlichen Plan nichts geändert, obwohl die Inzidenz in England bei über 250 liegt - und Boris Johnson trotzdem am 19.7. fast alle Beschränkungen aufheben will. Ende Juli wird man die Folgen sehen.

Da wird erleichtert wahrgenommen, dass die ebenfalls auf diesen Sommer verschobenen Olympischen Spiele wohl ganz ohne Publikum stattfinden werden, um eine unnötige Befeuerung der Pandemie zu verhindern.




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MUED-Materialien zu Corona

Auch die MUED (s.u.) stellt für alle Lehrerinnen und Lehrer -- auch für Nicht-Mitglieder -- in der Corona-Krise einige aktuelle Unterrichts-Materialien kostenlos zur Verfügung. Seit Ende April 2021 wird das Thema "Schnell- bzw. Selbsttests und mögliche Fehler" in mehreren Aufgabenblättern behandelt, passend für verschiedene Klassenstufen von Grundschule bis Qualifikationsphase. Außerdem haben sich in der letzten Zeit schon mehrere 'Arbeitsblätter des Monats' mit Rechnungen rund um Corona befasst. Diese und weitere umfangreichere Unterrichtseinheiten (deren Bezug dann allerdings z.T. die Vereinsmitgliedschaft voraussetzt) sind erreichbar über https://www.mued.de/unterrichtsmaterial.




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Mathematik-Wettbewerbe

Neben den Adventskalendern (s.u.) gibt es viele weitere jährlich durchgeführte Mathematik-Wettbewerbe. Hier einige wichtige Möglichkeiten mit aktuellen Terminen:


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Mathematik-Adventskalender
(sowie alte Corona-Aufgabe und noch "Mathe im Mai")



Vom 1. bis 24. Dezember 2020 durfte man wieder jeden Tag ein virtuelles Türchen öffnen und fand dahinter statt Schokolade und einem bunten Hintergrundbild ein Rätsel oder eine spannende Aufgabe. Nach einmaliger Anmeldung konnte man die eigenen Lösungen sogar täglich per eMail einsenden und damit auf einen der vielen Gewinne hoffen, die auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer warteten. Aber auch ohne Registrierung kann man bei den meisten Angeboten jetzt noch die Türchen öffnen und die Fragen sehen und beantworten. Auch ohne Gewinnchance macht das Rätseln Spaß. Für den nächsten Advent bitte schon Anfang November 2021 anmelden. Und ggf. im Spam-Ordner nachsehen, wenn die Antwort nicht innerhalb eines Tages kommt.

Das Deutsche Forschungszentrum MatheOn stellte zusammen mit der Deutschen Mathematiker-Vereinigung drei Versionen von mathematischen Adventskalendern mit unterschiedlich schweren Aufgaben ins Netz:

Selbst die schwierigste Version, der digitale MatheOn-Adventskalender "Math+" ab Klasse 10, erfordert aber meist mehr gesunden Menschenverstand und Nachdenken über praktische Zusammenhänge als unbedingt komplizierte Rechentechniken, sodass auch Grundkurs-Schülerinnen und -Schüler gute Chancen haben. Im Dezember 2019 ließen sich das aktuelle Türchen immer erst ab 16 Uhr öffnen, damit Schülerinnen und Schüler ohne Nachmittagsunterricht nicht viel länger knobeln können. Jetzt sind alle Türchen zu öffnen. Und wer will, kann sogar noch einen Blick auf die interessanten Aufgaben früherer Jahre werfen: denn unter "Archiv" findet man auch die Aufgaben mit Lösungen der früheren Jahre in absteigender Anordnung jeweils in einer pdf-Datei zusammen gepackt ("Lösungsheft 2019" bis "Lösungsheft 2004"; im Frühjahr 2021 erscheint dann vermutlich auch das "Lösungsheft 2020"). Alle drei Versionen der Kalender für die unterschiedlichen Altersstufen findet man unter dem Motto 'Mathe macht's möglich' auf einer gemeinsamen Startseite. Also hin zu

www.mathekalender.de

Die beiden niedrigeren Anforderungsstufen für die Klassen 4 bis 6 bzw. für die Klassen 7 bis 9 waren und sind zusätzlich auch über die Webseite Mathe-im-Advent.de zu erreichen. [Im April 2020 wurde übrigens - offenbar nicht zum ersten Mal - für die Altersgruppen 'Klassen 4-6' und 'Klassen 7-9' außerdem jeweils eine interessante Mathe-Aufgabe zu Ostern veröffentlicht: https://www.mathe-im-advent.de/de/kalender/aktion/ostern/. Vielleicht kommt Ostern 2021 Ähnliches!.

Zum Welttag der Mathematik (14.3.2020, s.o.) gab es außerdem eine Sonderaufgabe zur Corona-Pandemie, die zur Beschäftigung mit exponentiellem Wachstum anregen soll(te) und noch online ist.

Im April 2020 gab es zusätzlich 13 Aufgaben, nämlich vom 6. bis 24. April 2020 an jedem Werktag eine neue Aufgabe - bzw. je eine Aufgabe für zwei Schwierigkeitsgrade / für verschiedene Klassenstufen. Die neue Mathe-Herausforderung unter dem Titel Mathe im April sollte helfen, trotz Corona-bedingter Schulschließungen geistig fit zu bleiben. Offenbar sind die Aufgaben aber nicht mehr online, sondern ersetzt durch Mathe im Mai. (Danach gab es kein "Mathe im Juni" mehr, weil die Schulen allmählich wieder öffneten)!



Zurück zu den Adventskalendern: Für Grundschüler gibt es außerdem von der Humboldt-Universität Berlin bzw. dem Verein, der den Känguru-Mathewettbewerb durchführt, zwei weitere Mathe-Adventskalender, nämlich die Mini-Variante für die 1./2. und die Maxi-Ausgabe für die 3./4. Klassenstufe. "Nur so" konnten sich auch Ältere an den Aufgaben versuchen. Ein Account kann und braucht dazu nicht eingerichtet werden. Alle früheren Aufgaben (z.T, seit 1998) lassen sich noch auf der Mini- oder Maxi-Seite unter dem Reiter 'Aufgaben' ansehen. Beide Kalender lassen sich auch erreichen über

www.mathe-kaenguru.de/advent



Auf meiner Physik-Seite wird außerdem (bei den Wettbewerben) auf einen physikalischen Adventskalender hingewiesen: PIA - Physik im Advent. Hier können (allerdings erst nach Registrierung) nach Video-Anleitungen kleinere Experiment durchgeführt und erklärt bzw. ausgewertet werden, sodass für spielerischen Spaß gesorgt war.


Interessant für alle, die sich gerne mit Geheimschriften und der Ver- bzw. Entschlüsselung beschäftigten, dürfte zudem der Kalender Krypto im Advent sein, herausgegeben von der Karlsruher IT-Sicherheitsinitiative in Zusammenarbeit mit der dortigen Pädagogischen Hochschule. Es gibt zwei Versionen: für 'Einsteiger' (Klassen 3 bis 6) und für 'Fortgeschrittene' (Klassen 6 bis 9). Und: Hintergrundinformationen zum Thema Verbergen und Enträtseln auf dem Niveau eines Informatik-Leistungskurses der Oberstufe findet man auf meinen Informatik-Seiten i) und k) zur Kryptologie, auf denen klassische (symmetrische) bzw. moderne (asymmetrische) Krypto-Verfahren behandelt werden.




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Materialien & Klausuren aus der SII

Auf einer Sonderseite gibt's eine einige meiner Klausuren aus dem Unterricht in der Oberstufe (EF bis Q2). Natürlich gibt's zu den Aufgaben auch Lösungen, die man sich aber erst nach eigenem, intensiven Bemühen um die richtigen Resultate ansehen sollte.

Extra-Seite: Mathe-Klausuren SII
(bis Sommer 2017)


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Zentralabitur

Wegen des leider auch in Nordrhein-Westfalen eingeführten Zentralabiturs werden im aktuellen und künftigen Mathematik-Unterricht immer einige kleinere Themenverschiebungen und/oder veränderte Gewichtungen vorgenommen, um Schülerinnen und Schülern optimal auf die jeweils für den Abiturjahrgang angekündigten Prüfungsaufgaben bzw. die jeweils als besonders wichtig erklärten Themengebiete vorzubereiten. Die nachfolgend angegebenen Verweise wurden im Juni 2016 auf die inzwischen sichereren https-Webseiten des Schulministeriums abgeändert.

Eine Übersicht über Themen sowie die Aufgaben der letzten Jahre für das Zentralabitur im Gymnasium finden sich für verschiedene Fächer, u.a. für Mathematik, auf

https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentralabitur-gost/faecher/

Andere, über die zentralen Vorgaben hinaus gehende lehrplanmäßige Stoffe können und sollen natürlich weiterhin behandelt und in normalen Klausuren und mündlichen Abiturprüfungen abgefragt werden.

In unserem Bildungsgang 1 "Abitur mit Schwerpunkt Mathematik und Informatik" (=Bildungsgang nach Anlage D21 der APO-BK), der zum Berufskolleg gehört, begann das Zentralabitur im Jahr 2008 mit Informatik und erst 2009 mit Mathematik. Für den Mathematik-Leistungskurs der kommenden Abitur-Jahrgänge findet man auf folgender Seite die jeweils gültigen Vorgaben und Hinweise:

https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentralabitur-berufliches-gymnasium/bildungsgaenge/bildungsgang.php?id=21

Die zugehörigen Richtlinien ('Bildungspläne') fürs Mathe-Kolleg finden sich auf

http://www.berufsbildung.nrw.de/cms/bildungsgaenge-bildungsplaene/berufliches-gymnasium-anlage-d/bildungsplaene/kff-informatik.html


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Lehrplan für die S I

Die Kernlehrpläne für die Klassen 5 bis 9 der Gymnasien in Nordrhein-Westfalen berücksichtigen die Schulzeitverkürzung (G8=Gymnasium mit nur acht Jahren von Klasse 5 bis Jahrgangsstufe 12 - statt früher und demnächst wieder neun Jahre von 5 bis 13). Hier eine Übersicht über die Pläne aller Fächer

http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-i/gymnasium-g8/index.html

bzw. speziell zur Mathematik http://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/lehrplaene_download/gymnasium_g8/gym8_mathematik.pdf




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Rezensionen von Mathematik-Software

Im Laufe der Zeit habe ich einige Mathematik-Programme ausprobiert. Hier meine Meinung zu einigen (älteren) Angeboten:

a) numerische Programme: Rechen- und Zeichenhilfen
  • MatheAss 8.0 (B. Schultheiß; für Win)
  • MathProf 2.0 (Riescher; für Win ab 9x)
  • WinFunktion Mathematik plus XII /2002 (St. Polster; bhv)
  • Appomatox 3.4.2.0 (F. Schnitzer; für Win ab 9x)

b1) interaktive Programme: Lern- und Übungs- bzw. Nachhilfeprogramme für die Sekundarstufe I (Klassen 5 - 10)

  • Schülerhilfe - 7. Mathe (= Freddy der Fuchs - Mathematik 7), Aldi Juli/August 2004
  • GRIPS! 5. Mathe - Textaufgaben
  • Lernpaket Mathematik, Klasse 5 und 6 (= Martins Lernwerkstatt Mathematik 5&6)
  • Multimedia Lernkurs Mathematik Klasse 5-7 (= CD 1 von Lernsoftware Mathematik - Einfach und effektiv - Klassen 5-10)
  • Schülerhilfe Mathe Klasse 7|8
  • Aufgabensammlung Geometrie Klasse 8-10

b2) interaktive Programme: Lern- und Übungs- bzw. Nachhilfeprogramme für die Sekundarstufe II (Klassen (10,) 11 - 13)

  • Mathematik-Baukasten (Franzis)
  • Mathematik interaktiv / Telekolleg II: Analysis - Differentialrechnung (TR Verlagsunion / Rossipaul)
  • Differential- und Integralrechnung V 1.1 (Franzis Multimedia-Mathematik)
  • Extremwerte (Hemming Leicht gelernt)
  • Mathe Tutor Oberstufe 1 (Maaß/Stöckl; Koch Media)
  • Mathe Tutor Oberstufe 2.0 (Maaß/Stöckl; Koch Media)

c) Computer-Algebra-Systeme (CAS): genaues und symbolisches Rechnen, Termumformungen und Zeichnen

  • Die Aufgabe
  • Lösung mit Derive 5 / 6
  • Lösung mit MuPAD Pro 3.1
  • Lösung mit GeoGebra 2.5.1
  • Weitere Software und Hinweise

d) Dynamische Geometrie-Software (DGS). geometrisches Konstruieren, Abbilden, Bewegen und Messen

  • Die vier Aufgaben (Thaleskreis, Strahlensatz, Kreistangente, Parabelform der Kölnarena)
  • Euklid-DynaGeo 2.6e
  • GeoGebra 2.5.1
  • Zirkel und Lineal 3.71
  • Publizieren im Internet bzw. im Schulnetz
  • Bezugsquellen und Preise

e) Software zur Linearen Algebra und zur Vektorgeometrie

  • MuPAD und Derive
  • MatheAss, WinFunktion Mathematik und MathProf
  • Geo(.exe), Vektor / GeoSekII und AG-Analytische Geometrie

Übrigens: Von mir erstellte Software zur Mathematik (wie den Gleichungssystem-Löser LGS_2, der auch umgekehrte Kurvendiskussion beherrscht, oder das Programm WktBaum für die Stochastik in SI und SII) finden Sie auf meiner "Software"-Seite !


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Eine Buchbesprechung...

Titelbild - Abiturwissen Superbuch Mathe & Physik (Ausgabe mit DVD)E. & M. Niedermair / W. Kassenbrock: Abiturwissen Superbuch -- Mathe & Physik. Der komplette Abiturstoff leicht verständlich. 576 Seiten. Franzis-Verlag (ISBN 978-3-7723-9265-8) 2009 mit DVD. UVP 29,95 €; im Oktober 2018 für 8,08 € plus 3 € Versand im Amazon-Marketplace.

In diesem dicken Buch werden Aufgaben aus dem Oberstufenstoff der Mathematik (Seiten 29 bis 296) und der Physik (Seiten 297 bis 567) vorgerechnet und gestellt -- aber nicht wirklich erklärt. Hinweise zum richtigen Lernen und der Bekämpfung von Prüfungsangst finden sich im ersten, einführenden Kapitel. Dem Buch von 2008 ist in dieser Sonderausgabe von 2009 noch eine DVD mit 4 Softwareprodukten beigegeben: dem lohnenswerten Programm WinMathematik XXL (einer Lizenzausgabe vom einzeln 30 € teuren MathProf 4.0 -- vgl. meine Besprechung von Mathematik-Software, Seiten a) und e)) und einer umfangreichen, aber wenig ansprechenden Mathematik-Aufgabensammlung (belegt 235 MB auf der Festplatte) sowie zwei schlecht-gemachten Mathematik- und Physik-Formelsammlungen. Allein WinMathematik XXL lohnt aber den Preis des Buchs, die (übrigen) Softwareprodukte kann man zum Glück nach kurzer Prüfung leicht einzeln deinstallieren.

Beispielseite aus Abiturwissen Superbuch Mathe & Physik (hier S. 117)Aber zum Mathematikteil des gedruckten Buches selbst: Er richtet sich wohl vor allem an Schülerinnen und Schüler, die vor Klassenarbeiten und/oder den Abiturklausuren typische Aufgaben üben wollen. Zu den drei Bereichen Analysis (wobei Exponential- und Logarithmusfunktion sowie die Integralrechnung eigene Kapitel bekommen haben), zur Linearen Algebra mit analytischer Geometrie sowie zur Stochastik werden schulbuch-übliche Aufgaben vorgerechnet, in nachfolgenden Übungskapiteln findet man weitere kleinere und größere Aufgabenstellungen zum Selberrechnen mit anschließender Lösung (z.T. an alte bayrische Zentralabitur-Aufgaben angelehnt bzw. daher entnommen). Beeindruckend ist die Breite des abgedeckten Stoffs, gerade auch in der andernorts oft immer noch stiefmütterlich behandelten Stochastik. Störend ist hingegen, dass wirklich nur gerechnet wird und Erklärungen weitestgehend fehlen: so steht z.B. nirgends, warum man etwa bei der Kurvendiskussion f ' (x)=0 setzt, um Kandidaten für Extrem- oder Sattelstellen zu finden. Auch weitere Kriterien werden zwar gelegentlich benutzt, aber nie erläutert (der Abschnitt 2.5 'Grundlagen zur Kurvendiskussion' hat daher den Namen nicht verdient, auch wenn es dort einige Definitionsmengen-, Symmetrie-, Tangenten- und Nullstellenbestimmungen sowie Beispiel-Diskussionen für je eine ganzrationale, gebrochenrationale und trigonometrische Funktion gibt -- aber eben keine Grundlagen). Ähnliches gilt auch für alle anderen Kapitel und Themen. Insofern eignet sich das Buch wirklich nur für Schülerinnen und Schüler, die für Erklärungen und zum Verständnis auf andere Quellen zugreifen können und hier nur das rezepthafte Durchrechnen sehen und üben wollen (auch die Aufgabensammlung auf DVD liefert als Kontroll-Lösungen immer nur eine Folge unkommentierter Rechenschritte) -- oder für Lehrerinnen und Lehrer als Materialvorrat für weitere (Haus-)Aufgaben zusätzlich zum Schulbuch. Zur Vorbereitung auf mündliche Prüfungen oder um den Sinn der Verfahren einzusehen, eignet sich dieses Buch nicht! Der Untertitel des Buchs "Der komplette Abiturstoff leicht verständlich" ist insofern irreführend.
(Im Vorwort zum Physikteil steht übrigens viel deutlicher: "Es ist kein Physikbuch im herkömmlichen Sinn. Es werden nur sehr bedingt .. Zusammenhänge hergeleitet oder bewiesen... Die Stärke dieses Buches liegt vielmehr in der sehr komprimierten Darstellung .. und in den Übungsaufgaben einschließlich der zugehörigen Musterlösungen" (S. 299))

Außerdem orientiert sich das Buch am traditionellen bayrischen und baden-württembergischen Abitur. Für Nordrhein-Westfalen fehlen anwendungsorientierte(re) Mathematik-Aufgaben. An Themen fehlen in der Linearen Algebra z.B. Übergangsmatrizen und in der Stochastik ist das Kapitel Unabhängigkeit mit weniger als einer Dreiviertelseite und ohne Satz von Bayes viel zu dürftig behandelt. Und das Stichwortverzeichnis enthält zu wenige Einträge, um bei vielen Suchen wirklich zu helfen.

Noch ein Wort zu Fehlern: Grundsätzlich waren die Autoren nicht nur fleißig, sondern scheinen sich auch Mühe gegeben zu haben. Natürlich gibt es trotzdem Fehler. Wenn im Wahrscheinlichkeits-Baum (auf S. 160) bei einem Ast der Strich und die Angabe der Wahrscheinlichkeit fehlt, so ist das (wie bei einigen offensichtlichen Tippfehlern) sicher leichter zu verschmerzen, als wenn an vielen Stellen die benötigten Klammern weggelassen werden (z.B. auch S. 109) und gar in allen Beispielen zur Polynomdivision immer z.B. - x2+3x falsch an Stelle des richtigen Terms -(x2+3x) = -x2-3x steht (Seiten 53 bis 55). Allerdings sind Fehler zum Glück seltener als etwa in "Physik espresso!" aus dem gleichen Verlag (siehe Besprechung auf meiner Physik-Webseite) und seltener als in den Lösungsbüchern für die Lehrerhand der meisten Schulbuchverlage -- auch wenn "ein besorgter Vater" durchaus nachvollziehbar wegen der von ihm schon auf den ersten Seiten gefundenen Unzulänglichkeiten in seiner kritischen Rezension bei amazon.de vom Buch gänzlich abrät

Angesichts des (jetzt) niedrigen Preises und wegen der empfehlenswerten Software WinMathematik XXL halte ich -- unter den dargestellten Einschränkungen bzw. für den genannten Zweck -- den Kauf der Ausgabe mit DVD trotzdem für berechtigt. Über den Physikteil und die Formelsammlungen berichte ich zusätzlich auf meine "Physik"-Seite.




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...und noch ein Buchtipp

Titelbild - Glaeser: Mathem. WerkzeugkastenGeorg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten - Anwendungen in Natur und Technik. Jokers edition 2007 (378 Seiten) für 12,95 €. [Die der hier besprochenen Ausgabe zugrunde liegende Auflag von 2004 gibt's noch (im Oktober 2018) gebraucht im Amazon-Marketplace für 0,87 € + 3 € Versand und die auf 452 Seiten erweiterte 4. Auflage von 2014 wird Ende 2018 für 29,99 € angeboten.]

Dieses Buch sei jeder Mathematik-Lehrerin und jedem Mathematik-Lehrer, aber auch allen interessierten Oberstufenschülerinnen und -schülern an Herz gelegt. Einer groben mathematischen Fachsystematik folgend, bietet das Buch in 7 Kapiteln (von einfachen Gleichungen aus der Mittelstufe über einfache Geometrie und Trigonometrie bis zur Analysis und Vektorrechnung der Oberstufe) und zwei Anhängen (zu Zahlen und Musik) und in insgesamt über 50 Abschnitten eine Fülle von Anwendungen: Nach einer sehr kurzen mathematischen Einleitung werden prägnante Beispiele aufgeführt und mit den gerade vorgestellten mathematischen Mitteln behandelt.

Das Gelungene ist die Auswahl der Beispiele: Sei es die durchschnittliche Erosion des Tafelbergs pro Jahr, der Durchmesser eines Moleküls, die Schärfentiefe bei Digitalaufnahmen, die Verzögerung beim Bungy-Jumping, der Grund für dünne Spinnenbeine und dicke Säulenbeine beim Elefanten, die Ausrichtung von Sonnenspiegeln, das Maximalgewicht eines flugfähigen Vogels (oder auch Flugsauriers), die Planetenbewegung oder das Aufwickeln eines Taus: Mehrere Hundert Anwendungen werden erfrischend knapp aber klar vorgestellt und kurz durchgerechnet. Die willkürlich herausgegriffene abgebildete Doppelseite zeigt den typischen Aufbau des Buchs, das (bei mathematischer Vorbildung) durchaus auch als nicht zu schwierige Urlaubslektüre geeignet ist. Der Lehrer erhält eine Menge an Anregungen; allerdings bleibt es ihm überlassen, die hier jeweils nur kurz umrissenen Beispiele so aufzubereiten, dass sie auch zum Einsteig oder zur Motivation der benötigten Rechenwege und -verfahren im Schulunterricht dienen. Insofern unterschiedet sich der Ansatz hier von dem der Blikk-Webseiten oder dem der MUED (siehe weiter unten auf dieser Seite). Trotzdem und besonders für den günstigen Preis kann ich das Buch nur empfehlen: ich habe es gern und mit Gewinn gelesen!


Allerdings geht der Verlag wohl zu weit, wenn er das Buch auch als Einstieg in die Mathematik empfiehlt. Obwohl durch die mathematische Einleitung am Anfang jeden Abschnitts das Handwerkszeug für die folgenden Beispiele kurz vorgestellt wird, dürfte ein völliger Laie mit der formalen Lösung anschließend doch überfordert sein. Etwas mathematische Vorbildung sollte wohl besser mitgebracht werden.



Hinweis: Eine weitere Buchbesprechung folgt weiter unten bei der Stochastik!


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Anwendungsbezug und Realitätsnähe in der Mathematik

Wirkliche Anwendungen kommen leider auch heute noch im Mathematik-Unterricht meist zu kurz. Es reicht nicht, mathematische Formeln und Verfahren innermathematisch anzuwenden oder dürftig in kurze Texte einzukleiden, die einen stark abstrahierten und idealisiert-verkürzten Verweis auf Alltagsprobleme andeuten. Solches Vorgehen hat in bestimmten Phasen sicher auch seinen Wert und Platz im Unterricht, lässt aber einen wichtigen Aspekt außer Acht:

Um Schülerinnen und Schülern den Sinn der Mathematik klar zu machen und sie zu befähigen, Mathematik selbst im Alltag anzuwenden - auch dann, wenn zufällig gerade keine Schulbuchaufgabe am Problem aufgedruckt ist - , ist es unerlässlich, im Unterricht auch das Mathematisieren und Abstrahieren selbst immer wieder zu üben. Ausgehend von offenen alltäglichen Situationen oder Problemen muss das allmähliche Analysieren, Herausarbeiten sinnvoller Fragestellungen und mathematische Formalisieren und Bearbeiten immer wieder durchgeführt und eingeübt werden. Auch über dabei durchgeführte Vereinfachungen, Annahmen, Idealisierungen und Grenzen der Modelle und Verfahren muss nachgedacht und gesprochen werden.

Am besten geschieht dies natürlich mit Handlungsbezug und in realen Situationen, möglichst aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler. Problemlagen können (und müssen) aber auch auf verschiedene Art in den Unterricht hereingeholt und vorgestellt werden. Die neuen Medien können dabei helfen, sind aber nicht automatisch Garant für einen besseren Unterricht oder einen aufrichtigen Zugang zur Realität. In meinen Rezensionen zur Mathematik-Software (s.o.) musste ich leider häufig bemängeln, dass dort herkömmliche Verkürzungen elektronisch fortgeschrieben werden.

Auf jeden Fall ein deutlicher Schritt in die richtige Richtung ist hingegen das für den Oberstufen-Unterricht von Willi van Lück angelegte (inzwischen von Antonius Warmeling betreute) reichhaltige Webangebot auf dem südtiroler Blikk-Server:

Reale Probleme modellieren mit Mathe
http://www.blikk.it/blikk/angebote/modellmathe/

In Anleitungen für Schüler und Lehrer wird die sinnvolle Nutzung der Materialien vorgeschlagen. Gedacht ist vor allem daran, dass neue mathematische Teilgebiete im Unterricht nicht fachsystematisch durch Entwickeln des mathematischen Kerns eingeführt werden müssen, sondern Schülerinnen und Schüler in Kleingruppen den Auftrag erhalten, sich jeweils aus dem Webangebot ein Problem heraus zu suchen und es zu bearbeiten. Erst nach dem Vorstellen verschiedener Probleme und verschiedener Ansätze durch die Gruppen soll dann das Gemeinsame, der mathematische Gedanke bzw. das neue Verfahren abstrahiert und formalisiert werden. So wird jedenfalls klar, wozu das Verfahren gebraucht wird. Und die Lernenden haben die erste Anwendung dazu schon - medial vermittelt - zumindest virtuell "erlebt". Stöbern auf diesen Webseiten lohnt auf jeden Fall!

Nach dem großen Erfolg des gerade vorgestellten Webangebots "Reale Probleme modellieren mit Mathe" für die SII wurde von den gleichen Autoren (Willi van Lück, Antonius Warmeling, Hans Kratz u.a.) eine ähnliche internet-gestützte Mathe-Umgebung für jüngere Schülerinnen und Schüler (etwa der Klassen 3 bis 6, evtl. auch bis Klasse 7) aufgebaut. Auch hier lohnt das Reinschauen sowie das Lesen auch in den Handreichungen und pädagogischen Kommentaren und natürlich das Arbeiten mit dem bereitgestellten Material:

Mathe Überall (f. Klassen 3 bis 7)
http://www.blikk.it/angebote/primarmathe/

(Weitere Hinweise sowie Links zum Einsatz neuer Medien, auch in http://www.blikk.it/angebote/schulegestalten/neuemedien/infothek.htm.)

Auch die Seite des Lehrers Werner Brefeld,

Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben

nennt Beispiele echter Anwendungen der Mathematik. Anders als bei den vorgenannten südtiroler Seiten ist hier allerdings der Schritt von der komplexen Anwendungssituation hin zur schulbuchaufgaben-ähnlichen, mathematischen Beschreibung meist schon getan (was allerdings nach manchem eher traditionellem Unterricht den Einstieg vielleicht vereinfacht und so dann auch Mut zu Behandlung von Problemen aus realistischeren Zusammenhängen macht).
Die gut gemeinten Aktionen zum Jahr der Mathematik 2008 (s.u.) hatten leider noch nicht die Breitenwirkung, um die Lebensnähe der Mathematik mehr ins Bewusstsein zu rücken!

Auf dem auf dem nordrhein-westfälischen Bildungsserver Learn:Line wurde früher auch Mal "in einer Ecke" realitätsbezogeneres Material gesammelt. Inzwischen wurde der Webauftritt neu organisiert und wird jetzt vom Schulministerium betrieben. Sucht man nach "Mathematik" etwa durch

http://www.learnline.schulministerium.nrw.de/suche/Mathematik

so werden über 5000 Treffer gemeldet. Zum Glück müssen nicht alle durchgeblättert werden; die Suche kann nach Medientyp oder nach Schlüsselwörtern verfeinert werden (außerdem lassen sich dort oben statt einfach nur "Mathematik" auch noch "angewandte Mathematik" oder auch "entdeckendes Lernen" mit Bildungsbereich und Fächern eingeben).


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MUED e.V.

Die MUED ist ein Verein engagierter Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer aller Bundesländer und Schulformen. Ziel ist es, beziehungshaltigen, realitätsnahen Unterricht zu gestalten und Schülerinnen und Schüler als Menschen Ernst zu nehmen (und die Lerninhalte und -formen entsprechend zu wählen). Statt Mathematik an trockenen Buchaufgaben zu üben, sollen möglichst echte, sinnvolle Beispiele verwendet werden. Der zusätzliche Nebeneffekt, dass Schülerinnen und Schüler dadurch außer Mathematik auch noch etwas über den behandelten Gegenstand lernen, ist gewollt. Leider ist es bei der Unterrichts-Vorbereitung nicht immer leicht, relevante Informationen zu beschaffen (woran die Schülerinnen und Schüler übrigens beteiligt werden können und sollen!). Deswegen werden erstellte Arbeitsmaterialen und Erfahrungen untereinander ausgetauscht bzw. arbeiten einige Lehrerinnen und Lehrer ihre Materialien dankenswerterweise soweit aus, dass sie aus einem Mitglieder-Bereich des Internets herunter geladen und verwendet werden können oder sogar in Buch- oder Broschüren-Form allgemein gekauft werden können. Inzwischen sind viele Hunderte, wenn nicht gar Tausende dieser so genannten Unterrichtseinheiten verfügbar; eine ganze Reihe von Freiwilligen (die allerdings durchaus noch Verstärkung brauchen könnten) arbeitet daran, auch ältere Einheiten immer wieder zu prüfen und auf den aktuellen Stand zu bringen und die Kataloge zu aktualisieren. Wegen der früher einmal auf Papier in großen Karteikästen bereit gehaltenen Unterrichtseinheiten hatte der Verein den Namen "Mathematik-UnterrichtsEinheiten-Datei" angenommen, der heute vielleicht etwas unglücklich wirkt. Aber es kommt ja nicht auf den Namen, sondern auf den Inhalt bzw. auf die Leistung an!

Die MUED-Zentrale ist 2019 von Appelhülsen nach Münster umgezogen und hat jetzt die Adresse

MUED e.V.
Windthorststr. 7, 48143 Münster

Die MUED hat in den letzen Jahrzehnten spürbar positiven Einfluss auf die Aufgabenkultur insbesondere in Nordrhein-Westfalen, aber auch in anderen Bundesländern nehmen können. Sie tritt auf vielen Bildungsmessen mit einem Stand auf; ihre Mitglieder oder von ihr beeinflusste Didaktiker und Autoren veröffentlichen immer wieder in Fachzeitschriften für Schulmathematik. Der Verein veranstaltet jährlich zwei Tagungen, wobei insbesondere die große Herbsttagung mit spannenden Vorträgen und Mitmach-Arbeitsgruppen als lohnende Fortbildung und zum großen Erfahrungsaustausch und zur gegenseitigen Ermutigung im Ringen um weitere, sinnhafte Unterrichtsinhalte und geschickte Aufarbeitung und Vermittlung gestandenen Lehrerinnen und Lehrern ebenso wie Berufsanfängern sehr zu empfehlen ist.

Ein viermal jährlich erscheinender Rundbrief sowie die monatlichen, jetzt von verschiedenen Regionalgruppen im Wechsel vorgestellten 'Arbeitsblätter des Monats' ergänzen das Angebot.

Der Verein ist unter

https://www.mued.de

im Internet vertreten. Eine erste Annäherung kann z.B. über das erwähnte jeweilige Arbeitsblatt des Monats erfolgen. Manche dieser Arbeitsblätter befassen sich z.Z. auch mit Rechnungen rund um die Coronakrise, wie ich weiter oben bereits berichtet habe.



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Stochastik in der SII

Weil das Testen von Hypothesen noch nicht in allen Schulbüchern und Aufgaben völlig korrekt oder nachvollziehbar behandelt wird, habe ich eine Zusammenfassung zum Thema verfasst. Ursprünglich war das Blatt für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer gedacht und wurde jetzt nochmal etwas verbessert, bleibt aber sehr knapp:

Übersichtsblatt "Richtiges_Hypothesentesten.pdf" (111 kB)



Außerdem finden Sie umfangreiche (meist ältere, aber noch nicht veraltete) Beiträge und Arbeitsmaterialien zur Stochastik in der Sekundarstufe II, u.a. zu

zum Ansehen und/oder Herunterladen zusammengefasst in einer pdf-Datei:

Stochastik in der SII -- 23 Seiten Beiträge, Arbeitsblätter, Klausuraufgaben und Lösungen aus dem bzw. für den Unterricht; erprobt im Mathematik-Grundkurs 12/13: Texte mit Formeln und Abbildungen (pdf-Reader nötig).
Lesen (oder Download mit Rechtsklick und "Ziel speichern unter.."): stoch_s2.pdf, 626 kB

Mehr zu dem in der pdf-Datei erwähnten Mathematiker C. F. Gauß gibt's übrigens auf der Webseite genie-gauss.de, die unten am Ende meiner Verweise aufgeführt ist.



Zur eigenen Berechnung von Tabellen der Binomial-Verteilung für beliebige n und p gibt's außerdem eine interaktives Excel-Arbeitsblatt, das nach dem Herunterladen (Rechtsklick auf den nachfolgenden Link und "Ziel speichern unter..") natürlich auch mit vielen anderen Tabellenkalkulationsprogrammen benutzt werden kann, u.a. auch mit dem kostenlosen Calc von LibreOffice (bzw. von OpenOffice) oder dem kostenlosen PlanMaker aus dem Gratis-Office-Paket Softmaker-FreeOffice:

Rechenblatt "binomialtabelle.xls" (96 kB)

Und Stichprobenergebnisse binomialverteilter Zufallsgrößen lassen sich - zur Veranschaulichung von Lieferanten- oder Abnehmerrisiko bzw. der Signifikanz von Hypothesentests - auf meiner nachfolgenden Extraseite mit Javascript online zufällig erzeugen bzw. simulieren:

Extraseite: Simulation von Zufalls-Stichproben

Und natürlich gehören auch die beiden nachfolgenden Beiträge zur Stochastik in Sekundarstufe II:



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Hypothesentest paranormaler Fähigkeiten

Am 19. Oktober 2017 hatte ich die Fernsehsendung der Reihe "Planet Wissen" mit dem Titel "Übersinnliche Phänomene - Was ist dran?" gesehen, die in mehreren ARD-Programmen, u.a. im WDR, ausgestrahlt worden war, und nach erneuter Sendung am 16.10.2018 mindestens bis Oktober 2023 als Video im Internet abrufbar sein soll.

U.a. wurde dort von einer Frau berichtet (ab etwa der 51. Minute im Video), die behauptete, verschmutzte Blumenerde durch Pendeln erkennen zu können. Sie wollte damit den von der GWUP -- Gesellschaft zur wissenschaftlichen Untersuchung von Parawissenschaften -- ausgesetzten Preis von 10.000,- € gewinnen, wenn sie ihre Fähigkeiten unter Laborbedingungen nachweisen könne.

Sie war mit folgendem Test einverstanden: Auf letztlich insgesamt 13 langen Tischen standen in ausreichendem Abstand jeweils 10 Schalen mit Blumenerde, wobei jeweils genau eine Schale pro Tisch durch Beimischung von Zucker verunreinigt war. Das Preisgeld sollte ausgezahlt werden, wenn sie an mindestens 10 der 13 Tische die Schale mit der verunreinigten Erde richtig identifizieren könnte.

Die Dame, die von ihren besonderen Fähigkeiten überzeugt war, lies einen Gegenstand über den Schalen pendeln und bezeichnete pro Tisch eine Schale als verunreinigt. Sie war überzeugt, an allen 13 Tischen die richtige Schale gefunden zu haben. Tatsächlich hatte sie allerdings nur an zwei Tischen die verunreinigte Erde gefunden, hielt das aber dann immer noch für einen Beweis ihrer übersinnlichen Fähigkeiten, auch wenn sie den Preis nicht gewonnen hatte. Der Versuchsleiter konnte sie anscheinend nicht wirklich davon überzeugen, dass jeder beliebige Teilnehmer allein durch zufälliges Raten mit hoher Wahrscheinlichkeit zwei Treffer erzielen würde.

Die GWUP, die offenbar schon seit Jahrzehnten einmal jährlich in den Räumen der Uni Würzburg Tests mit Pendlern, Wünschelrutengängern und weiteren Kandidatinnen und Kandidaten durchführt, hat übrigens das ausgelobte Geld noch nie bezahlen müssen: kein selbsternanntes Medium konnte seine angeblichen Fähigkeiten unter den mit den Kandidaten abgesprochenen, arrangierten und kontrollierten Bedingungen unter Beweis stellen.

Insoweit hatte mich die Fernsehsendung nicht weiter überrascht. Umso erstaunter war ich, als gegen Ende der Sendung einer der beiden Studiogäste plötzlich über den Test schimpfte: Walter von Lucadou, Leiter der Parapsychologischen Beratungsstelle in Freiburg, behauptete unvermittelt und ohne weitere Erklärung, einen solchen Test könne niemand bestehen, und es sei unethisch, die naive Teilnehmerin, die keine Ahnung von Stochastik habe, so vorzuführen (etwa in der 55. Minute des Videos)

Im Fernsehbericht hatte sich aber bis dahin niemand über die Pendlerin lustig gemacht oder abfällig über sie gesprochen. Nur Herr von Lucadou bezeichnete sie jetzt öffentlich als naiv. Wer an einem solchen Test teilnimmt, um Geld zu gewinnen und seine behaupteten Fähigkeiten zu demonstrieren, und sich mit den Versuchsbedingungen einverstanden erklärt hat, muss meiner Meinung nach auch hinnehmen, dass sachlich über eine eventuelle Niederlage berichtet wird. Jeder Sportler im Wettkampf muss von Fans und Berichterstattung weit Schlimmeres ertragen. Die Teilnehmerin muss auch keinen Stochastikkurs absolviert haben, um behaupten zu können, dass sie alle dreizehn (auf jeden Fall aber mindestens zehn) Tische richtig bewerten könne. Der Vorwurf, ein solcher Test sei viel zu hart, um bestanden werden zu können, erschien mir auf Anhieb ebenfalls ungerechtfertigt, blieb aber im Gedächtnis und regte mich nachträglich zu folgendem Nachrechnen an:



Entsprechend ihrer eigenen Behauptung muss man von der Vermutung H1 ausgehen, die Teilnehmerin verfüge über besondere ("paranormale") Erkenntnismöglichkeiten (ihre Erkenntnisrate p sei also höher als eine willkürlich gesetzte Grenze p0, d.h. H1: p > p0). Entsprechend muss man versuchen, zum Beweis von H1 das Gegenteil, nämlich die Nullhypothese H0: p <= p0 zu widerlegen. Geht man - mangels mitgeteilter Informationen - davon aus, dass auch hier mit der oft üblichen Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha <= 5 % für den maximalen Fehler 1. Art gearbeitet wird, und die Entscheidungsregel ja bekannt ist (Preisgeld und damit Ablehnung von H0 bei 10 bis 13 richtigen Tischen, sonst - bei 0 bis 9 Richtigen - kein Preis bzw. Vereinbarkeit mit H0), so sollte sich p0 aus der aufsummierten Binomialverteilung ermitteln lassen, weil

(*)  Bn,p,k(13; p0; 10..13) = P (X <= 13) - P (X <= 9) <= 0,05 = 5 % 

gefordert ist. Mit einem modernen Taschenrechner oder auch durch Probieren (also Einsetzen verschiedener p-Werte) z.B. in meinem Rechenblatt "binomialtabelle.xls" (weiter oben auf dieser Seite) findet man, dass bei p0 = 0,5 die Bedingung (*) erfüllt ist (bei p0 = 0,51 hingegen nicht mehr):

Bildschirmfoto von meiner "binomialtabelle.xls" mit passenden Werten für paranormalen Test

Die GWUP verteilt das Preisgeld also im Prinzip schon, wenn die Pendlerin erkennbar mindestens die Hälfte der Tische richtig beurteilt. Wegen der unvermeidlichen zufälligen Ergebnis-Abweichungen bei kleinen Versuchs- bzw. Tischzahlen reicht es aber nicht, etwa auf 7 (nächste ganze Zahl über dem Erwartungswert von 6,5 = 0,5 * 13) Tischen die Schale mit der verunreinigten Erde genau zu lokalisieren. Erst bei 10 richtig gelösten Tischen liegt das Ergebnis soweit über dem zufälligen ‚statistischen Rauschen', dass die 10.000 € ausgezahlt werden sollen - obwohl auch bei dieser Entscheidungsregel noch in rund einem von zwanzig Tests (5 %) die Prämie insofern zu Unrecht gewährt würde, weil das gute Abschneiden eben doch nur durch glücklichen Zufall von einem Kandidaten mit in Wirklichkeit unter 50 % Erkennungsrate bei den Tischen erreicht wird.

50 % richtige Tische zu fordern, erscheint auf den ersten Blick sehr fair. Andererseits soll nicht vergessen werden, dass auf einem Tisch nicht etwa nur zwei, sondern zehn Schalen stehen. Die Chance, durch reinen Zufall einen ganzen Tisch richtig zu beurteilen, liegt also nicht bei 50 %, sondern nur bei 10 %!

Und um 10 von 13 Tischen richtig zu beurteilen, müsste der einzelne Tisch auch nicht mit 50 %, sondern mit einer Sicherheit von 76,9 % richtig erkannt werden (erst dann liegt der Erwartungswert bei 10 Tischen) - also 7,7 mal besser als beim unbedarften Raten. Und selbst für ein Medium mit 76,9-%-iger Tischerkennung ist das Risiko 2. Art mit etwa 35 % recht hoch und 7 mal so groß wie das Risiko 1. Art. Das ist ungünstig für den Kandidaten.

(Zur Erinnerung: Ein Fehler 2. Art entstünde, wenn durch ein zufällig schlechtes Stichprobenergebnis ein in Wirklichkeit fähiges Medium fälschlich nicht als solches erkannt würde. Das Risiko 2. Art wäre die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers 2. Art beim Test. - Beim Fehler 1. Art wird hier hingegen ein schlechtes Medium wegen zufällig gutem Stichprobenergebnis/glücklichem Raten irrtümlich für eine Person mit besonderer Begabung gehalten. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist das Risiko 1. Art, auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt).

Legt man das Anforderungsniveau für Abiturnoten in NRW zu Grunde, müsste die Pendlerin für 76,9-%-ige Tischerkennung also schon "gut" sein, um den Preis zu erreichen (ab 75 % der Rohpunkte soll es für eine Abiturarbeit eine glatte Zwei geben; ab 80 % gibt es eine Zweiplus, ab 85 % eine Einsminus usw.). Einer Person mit nur "ausreichenden" oder "befriedigenden" besonderen Eigenschaften will die GWUP die ausgelobten 10.000 € offenbar möglichst nicht zahlen. Liegt hier der Grund für die abfällige Äußerung seitens Herrn von Lucadou? Wenn er den Test als überzogen und als nicht bestehbar verdammt, geht er wohl davon aus, dass es keine Personen mit guten paranormalen Fähigkeiten gibt - wer wollte da widersprechen.

Die Freiburger Beratungsstelle zeigt sich sonst allerdings nicht so skeptisch: nach eigenen Angaben erreichen sie pro Jahr einige Tausend Anrufe von Leuten, die vor allem nicht für verrückt gehalten werden wollen, weil sie für sie unerklärliche Phänomene beobachtet haben. Dr. Dr. von Lucadou, der nicht nur in Physik, sondern auch in Psychologie promoviert hat, nimmt diese Anrufer ernst, hört ihnen unvoreingenommen zu und beruhigt, dass auch andere Ähnliches erlebt hätten. Auch wenn im weit überwiegenden Teil der geschilderten Fälle bald natürliche Erklärungen gefunden werden, bleibt wohl ein kleiner Prozentsatz, wo dies nicht gelingt. Herr von Lucadou berichtet von spukhaften Ereignissen, die zwar abgestellt (weil Lebensbedingungen verändert oder uneingestandene Wünsche erkannt und beachtet wurden), aber nicht wirklich erklärt werden konnten. Letzteres sei allerdings auch nicht sein Ziel; vielmehr gehe es darum, den Anrufern zu helfen. Und solange man noch nicht genau wisse, durch welchen exakten physikalischen Mechanismus bei psychosomatischen Krankheiten z.B. negative Gedanken ein Magengeschwür im eigenen Körper verursachen können, hält er es auch für möglich, dass Gedanken sogar nach außen wirken. Die von ihm nebulös verwendeten Begriffe der Verschränkung (der in der Physik allerdings nur bei Paaren isolierter Elementarteilchen unter ganz bestimmten Bedingungen vorkommt) und der Musterübereinstimmung überzeugen nicht wirklich und ersetzen keine fehlende Erklärung. Hier wird meiner Meinung nach der von ihm erhobene naturwissenschaftliche Anspruch klar verlassen.

Die GWUP veranstaltet die jährlichen Tests übrigens, um zu zeigen, dass es keine paranormalen Fähigkeiten gibt (auch wenn viele der Kandidaten sich für übersinnlich begabt halten - es aber unter Testbedingungen nie nachweisen konnten). Ab welcher ‚Qualität' die GWUP einen Preis anbietet, bleibt ihr natürlich überlassen. Und eine Kandidatin, die bis zum Schluss des Tests zu 100 % überzeugt war, alle 13 Tische richtig erkannt zu haben, weil sie ja klare Signale beim Pendeln erfahren habe, hätte sicher auch am Test teilgenommen, wenn sie die vorstehende Rechnung durchgeführt und von der 76,9-%-Marke gewusst hätte.

Zur Abrundung noch die zu erwartende Tischzahl für den völlig unbegabten Rater (der blind auf eines der 10 Schälchen pro Tisch tippt und damit nur eine 10-%-ige Chance auf eine richtige Tischerkennung hat): Der Erwartungswert liegt dann wegen 0,1 * 13 = 1,3 bei 1,3 richtig geratenen Tischen - wobei natürlich kein Tisch zu einem Bruchteil richtig sein kann, sondern nur ganze Zahlen als Ergebnisse möglich sind. Wegen Bn,p,k (13; 0,1; 1) = 0,3672 und Bn,p,k (13; 0,1; 2) = 0,2448 liegt die Wahrscheinlichkeit, bei zufälligem Raten 1 bis 2 Tische richtig zu haben, bei über 61 %. Nur in einem Viertel der Fälle (25,4 %) wird ein ratender Laie gar keinen richtigen Tisch benennen können. Will man zufälliges Raten mit höchstens 5-%-iger Irrtumswahrscheinlichkeit ausschließen, darf dies erst ab 4 (bis 13) richtig geratenen Tischen passieren. Die 2 von der Kandidatin im Film richtig erpendelten Tische ergeben also wirklich keinerlei Hinweis auf besondere Fähigkeiten!



Quellen und Verweise / Links

Weiterführende Aufgaben

  1. Rechne nach, dass - wie im letzten Absatz des vorstehenden Textes angegeben - beim einseitigen Test erst bei 4 und mehr richtig geratenen Tischen (à 10 Schalen, von denen genau eine verunreinigte Erde enthält) eine signifikante Abweichung vom zufällig zu erwartenden Ergebnis vorliegt, sodass mit alpha = 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit eine besondere Fähigkeit attestiert wird. Begründe auch, warum nicht zweiseitig getestet wird.
  2. Führe die Rechnung von 1. für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von nur 1 % durch.
  3. Nimm an, das Preisgeld würde schon bei 8 (und mehr) richtig geratenen Tischen ausgezahlt. Welches p0 wird dann gefordert?
  4. Jetzt soll das Preisgeld schon ausgezahlt werden, wenn H0: p <= 0,2 widerlegt werden kann (der Kandidat also signifikant mehr als doppelt so gut wie ein zufälliger Rater sein soll). Stelle die Entscheidungsregel für alpha = 5 % auf und bestimme den Fehler 2. Art für ein hypothetisches Medium, das in Wirklichkeit bzw. auf lange Sicht a) 40 %, b) 50 %, c) 76,9 % der Tische richtig erkennen kann.
  5. Nimm für einen Moment an, es gäbe wirklich Personen mit paranormalen Fähigkeiten, die im Mittel 20 % (oder mehr) der Tische richtig erkennen könnten. Der Stichprobenumfang sei wieder n=13, d.h. jede Person soll wieder 13 Tische bewerten. Danach muss entschieden werden, ob die Person ein begabtes Medium oder ein blind ratender Scharlatan ist. Formuliere die Hypothesen und finde die Entscheidungsregel so, dass ein solches Medium höchstens mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % für einen Scharlatan gehalten wird. Ermittle auch den Fehler 2. Art, dass bei diesem Test ein wirklicher Scharlatan als vermeintliches Medium mit paranormalen Fähigkeiten durchgeht.
  6. Die GWUP-Bedingung, dass pro Tisch genau eine Schale verunreinigt ist, macht es den Kandidaten eigentlich sogar sehr leicht: Glaubt beispielsweise ein Kandidat, bei verunreinigter Erde mache das Pendel eine Kreisbewegung, während es sonst in einer Ebene schwingt, so kann er, selbst wenn das Pendel gelegentlich elliptisch schwingt, einfach die Schale mit der rundesten Ellipse aussuchen, um auf die verunreinigte Schale zu tippen. Außerhalb des Labors und des GWUP-Tests weiß man aber nicht, wo wie viel verunreinigte Erde ist. Ein realitätsnaher Test müsste daher eigentlich pro Tisch eine beliebige, unbekannte Anzahl an Schälchen verunreinigen dürfen, was den Test allerdings wesentlich erschwert. Ermittle, mit welcher Sicherheit dann jede einzelne Schale richtig erkannt werden muss, damit im Mittel 20 % aller Tische richtig erkannt werden können.
  7. Die Probleme beim Hypothesentest liegen bekanntlich nicht in der Mathematik, sondern in den vorher getroffenen willkürlichen Festsetzungen. Gehe wieder vom einfachen Test mit genau einer verunreinigten von 10 Schalen pro Tisch aus, und lege p0 und/oder alpha sinnvoll fest:
    Diskutiere und begründe, ab welcher Prozentzahl p0 für einen richtig erkannten Tisch ein Kandidat deiner Meinung nach als Medium mit besonderen Fähigkeiten anerkannt werden sollte und welche Irrtumswahrscheinlichkeit sinnvoll ist, wenn es a) ‚nur' um ein Preisgeld von 10.000 € geht, b) wenn die Kandidatin ihr Geld damit verdient, gutgläubigen Bauherren zum Kauf eines Grundstücks (auch auf einem ehemaligen Deponie-Gelände) zu raten / vom Kauf eines Grundstücks abzuraten / zu einem Umzug zu raten, wenn der Boden ihrer Meinung nach nicht verseucht bzw. verseucht ist, c) wenn der Kandidat für seine nicht verunreinigte Erde besondere heilerische Fähigkeiten behauptet und man befürchten muss, dass ihm im Falle seiner Anerkennung möglicherweise weitere Hunderte Patienten vertrauen, ihm in der Hoffnung auf Heilung ihr Erspartes für ein Schälchen heilende Erde opfern und auf das rechtzeitige Aufsuchen eines normalen Arztes verzichten.


[Den vorstehenden Beitrag "Hypothesentest paranormaler Fähigkeiten" gibt's hier auch zum Download in einer pdf-Datei (134 kB) bzw. sogar komplett mit Lösungen (156 kB) - Achtung: die dort noch angegebenen Verweise auf die Planet-Wissen-Seite haben sich zwischenzeitlich verändert, s.o. Außerdem fehlen die Minutenangaben für die erwähnten Sequenzen innerhalb des Videos]


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Wissenschaftskrise u.a. wegen falschverstandener Hypothesentests

Im Oktober-Heft 2020 berichtet Spektrum der Wissenschaft im Artikel "Metaforschung - Kulturwandel in der Biomedizin" ausführlich darüber, dass sehr viele - nämlich weit mehr als die Hälfte! - der in den letzten Jahren veröffentlichten biomedizinischen Studien unzuverlässig und ihre Ergebnisse nicht repoduzierbar sind. Auch in anderen Fachbereichen sind die Forschungen nicht viel besser; am besten schnitten Physik und Ingenieurwissenschaften ab. Laut Bericht ist neben bewusster oder unbewusster Beeinflussung der Messungen vor allem die Statistik ein großes Problem: Stochastik wird überwiegend falsch verwendet und ihre Aussagen können nicht richtig interpretiert werden!

Wenn bei einem Signifikanztest (Hypothesentest) 5% Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt werden, glauben fast alle Forscher, wäre das Ergebnis zu 95% sicher. Die 5 % beziehen sich aber -- wie Leserinnen und Leser der vorstehenden Beiträge hier auf dieser Seite wissen -- nur auf den Fehler 1. Art, d.h. die irrtümliche Ablehnung der getesteten Hypothese H. Wurde der Test richtig aufgebaut, ist die Hypothese H aber nicht die ursprüngliche Vermutung, sondern deren Gegenteil, nämlich die Gegen- oder Nullhypothese Ho. Dann bestätigt die Ablehnung von Ho die ursprüngliche Vermutung, d.h. die zu überprüfende Aussage. Eine irrtümliche Ablehnung von Ho führt damit zu einem falsch-positiven Ergebnis für die Vermutung, die beim Test mit der Gegenhypothese Ho tatsächlich recht selten wäre (<= 5%). Allerdings wird im vorgestellten Zeitschriften-Artikel mitgeteilt: "Hier regt sich ebenfalls Kritik, denn mehr als 95 Prozent aller Studien bestätigen die untersuchte Hypothese" (Spektrum der Wissenschaft, Heft 10.20, S. 41). Das ist nur möglich, wenn gar nicht Ho, sondern fälschlich direkt die Vermutung getestet wurde - und eine Nichtablehnung als eine Bestätigung aufgefasst wird (was ebenfalls nicht stimmt, weil ein positiver Ausgang die Hypothese zwar für möglich hält, aber nicht wirklich bestätigt - auch das Gegenteil ist weiterhin möglich). Hier müsste dann mit dem Fehler 2. Art gerechnet werden. Sein Risiko ist i.A. schwer zu beziffern, weil man die wahre Wahrscheinlichkeit kennen müsste. Insbesondere, wenn diese nahe bei der getesteten Wahrscheinlichkeit liegt und die Stichprobe klein ist, können (trotz des 5%-Signifikanzniveaus für das Risiko 1. Art) hier aber riesige Fehler-Wahrscheinlichkeiten durchaus von 80 bis 90% und noch höher entstehen - der Artikel spricht statt vom Risiko 2. Art von der 'Power' eines Tests und merkt an: "Befragungen von Studenten, jungen Wissenschaftlern und sogar gestandenen Professoren haben gezeigt, dass den meisten Forschern die Bedeutung dieses Umstands gar nicht bewusst ist." (a.a.O, S. 41).

Außerdem führt die leider immer noch verbreitete Ansicht, dass nur positive Ergebnisse eine Veröffentlichung lohnen, dazu, dass viele negative Ergebnisse gar nicht bekannt gegeben werden und so die publizierten Ergebnisse überwiegend aus zufälligen positiven Ausreißern bestehen. Seit Jahrzehnten wird ein Umdenken gefordert. Im Artikel werden neue 'Belohnungssyteme' für Wissenschaftler gefordert, sodass nicht mehr die Zahl der (eben leider oft fragwürdigen) Publikationen karrierefördernd sein soll. Und durch Voranmeldung von Tests sollen Versuchsbedingungen und richtiger Testaufbau vorab geprüft werden können und auch negative Ergebnisse erfasst werden. Sollte beispielsweise eine korrekt durchgeführte Untersuchung zeigen, dass ein grüner Webseitenhintergrund bei mathematischen Themen keineswegs zur Beruhigung beiträgt oder das Wohlbefinden fördert, müssten nicht Jahr für Jahr Nachwuchsforscher immer wieder die Vermutung "grün beruhigt" überprüfen. Selbst bei richtigem Testaufbau würde trotzdem noch jeder zwanzigste (<= 5%) die Vermutung zufällig (aber irrtümlich) bestätigen und sein Ergebnis veröffentlichen, sodass ein interessierter Autor bei ausgedehnter Recherche auf mehrere solcher Bestätigungen stoßen würde - während die anderen den wahren Sachverhalt nicht veröffentlicht haben und so die Veröffentlichungen ein ganz falsches Bild ergeben ("Publikations-Bias").

Den vollständigen Spektrum-Artikel, aus dem ich zitiert habe, gibt es online nur kostenpflichtig (hier der Anfang); die wesentlichen Ideen sind aber schon in einem 14-minütigen Podcast vom Februar 2020 gratis zu hören. Das Thema ist nicht neu: 2005 hatte der Epidemiologe John Johannides mit seiner These aufgeschreckt, dass die meisten publizierten Forschungsergebnisse (der Medizin und verwandter Wissenschaften) falsch seien [ Nachtrag im Mai 2021: Bedauerlicherweise ist J. Johannidis in jüngster Zeit aber auch unrühmlich aufgetreten -- als Corona-Leugner und Verharmloser von in Wirklichkeit eindeutigen Statistiken. Das berichtet z.B. die FAZ].
Und die beiden deutschen Biophysiker Beck-Bornholt und Dubben versuchen seit 1998 mit drei sehr lesenswerten und gut verständlichen Taschenbüchern den richtigen Umgang mit der Stochastik anschaulich zu erläutern und Fallstricke aufzuzeigen.

Die Probleme des Publikations-Bias und falscher Testgläubigkeit war aber schon zu meiner Studienzeit in den 1970er Jahren unter Mathematik-Student(inn)en bekannt, die sich über die psychologischen Versuche im benachbarten Fachbereich lustig gemacht haben (obwohl sie sich gegen Bezahlung gerne als Probanden zur Verfügung gestellt haben). Dort wurden z.B. beim Test der Vermutung "Mozart-Musik nimmt die Angst vorm Zahnarzt" möglichst viele Eigenschaften der paar Probanden erfasst und mit Computerprogrammen (damals noch am Großrechner) so lange ausgewertet, bis selbst beim negativen Ergebnis für die ursprüngliche Vermutung irgendein zufälliger positiver Zusammenhang gefunden werden konnte, und sei es "Mozart-Musik hilft Menschen mit Schuhgröße 44, die gerne blaue Pullover tragen, gegen die Angst vorm Zahnarzt". Ließ sich partout nichts Signifikantes mit Mozart finden, reichte es vielleicht zu einem bemerkenswerten Zusammenhang zwischen der Vorliebe für blaue Pullover und der Schuhgröße (oder anderen 'signifikanten' Korrelationen zwischen vorsorglich erfassten Eigenschaften). Bei richtigem Testverständnis hätte die neue Vermutung jetzt in einem neuen Test an neuen Probanden und mit korrekter Null- bzw. Gegenhypothese getestet werden müssen. Tatsächlich konnte die Behauptung aber ohne Überprüfung abgegeben werden und wurde vom Professor oder der Professorin akzeptiert und honoriert. Studenten, die zutreffend behaupteten, man müsse vielleicht wo anders suchen, 'Mozart bringe es jedenfalls nicht', wurden hingegen aufgefordert, sich endlich anzustrengen und einen positiven Beitrag zur Wissenschaft zu leisten. Offenbar hat sich an diesem Unverstand trotz vieler Mahnungen noch nicht viel geändert. Vielleicht hilft der angesprochene Artikel - wahrscheinlich sind aber noch viele weitere stete Tropfen nötig, um den Stein zu höhlen bzw. den beschworenen Kulturwandel endlich herbei zu führen.




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Noch eine Buchbesprechung: Stochastik-Fehler

Alex Reinhart: Statistics done wrong - Deutsche Ausgabe: Statistik richtig anwenden und Fehler vermeiden. 208 Seiten. mitp-Verlag 2016. ISBN 978-3-95845-252-7. Originalpreis 24,99 € inzwischen aufgehoben; bei mitp im Januar 2021 schon für ca. 4 €.

Zunächst hatte ich mich bei diesem aus dem Amerikanischen übersetzten Buch gewundert, warum immer nur vom p-Wert statt von der Irrtumswahrscheinlichkeit oder dem Signifikanzniveau von Hypothesentests geredet wurde. Kannte der Übersetzer nicht die bei uns üblichen Begriffe? Schnell wurde aber klar, dass dahinter Absicht steckt. Der Autor will grundlegende Irrtümer im Umgang mit der Stochastik aufdecken. Dazu gehört der Kampf gegen den verbreiteten Glauben, eine auf Grund eines Hypothesentests mit einem p-Wert von 5 % getroffene Aussage sei mit 95-%-iger Wahrscheinlichkeit richtig. 5 % ist aber nur die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese. Wie sicher dann - wenn z.B. die Nullhypothese H0: „kein Brustkrebs" mit höchstens 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art abgelehnt werden kann - das Gegenteil, nämlich die Diagnose Brustkrebs, zutrifft, hängt aber von weiteren Bedingungen ab: u.a. davon, wie groß der Fehler 2. Art des Tests ist, und wie verbreitet Brustkrebs überhaupt ist (Prävalenz). Das führt dazu, dass auch viele Frauen ohne Brustkrebs eine falsche positive Diagnose kriegen. Auch wenn fast alle Erkrankten tatsächlich erkannt werden, haben dadurch im Buchbeispiel (S. 73) tatsächlich nur 9 % der Frauen mit (angeblich fast sicherer) Brustkrebsdiagnose tatsächlich einen Tumor - also nur 9 % statt vermeintlich 95 % Sicherheit! Entsprechend verzichtet Reinhart auf irreführenden Sprachgebrauch.

Obwohl es für Brustkrebs inzwischen bei den Mammografie-Instituten Aufklärungsblätter gibt, die anschaulich und korrekt die (begrenzte) Aussagekraft der Untersuchung erklären, interpretiert die Mehrzahl der Ärzte solche Ergebnisse falsch. Allgemein sind die meisten Fachleute kaum in der Lage, die Ergebnisse von Untersuchungen in ihrem Fach richtig zu deuten.

Darüber hinaus sind schon viele veröffentlichte Daten falsch oder zumindest fragwürdig, weil die Autoren die statistischen Werkzeuge nicht richtig oder sinnvoll anzuwenden wussten. An diese Gruppe - Studenten und Forscher im medizinischen, biomedizinischen und psychologischen Bereich - wendet sich der Autor hauptsächlich. Im Buch werden viele mögliche Fehler -- nichtsignifikante Unterschiede der Signifikanz, zirkuläre Analysen, falscher Umgang mit Testabbrechern, Regression zur Mitte, überflüssige Zweiteilung, Simpson-Paradoxon, voreingenommene Berichterstattung, Nichtveröffentlichung klinischer Studien ohne signifikantes Ergebnis, usw. -- oft mit Beispielen angesprochen. Allerdings werden die Beispiele nicht von Grund auf durchgerechnet. Der Autor (selbst Statistiker an einer Uni) wendet sich an eine Leserschaft, die schon z.B. durch ein oder zwei Semester Statistikkurse Vorkenntnisse hat und die Verfahren und den Umgang mit Statistik-Programmpaketen wie z.B. SPSS im Prinzip kennt. Allerdings hält er die übliche Statistikausbildung z.B. der Mediziner an den Universitäten für unzureichend, da sie nicht geeignet sei, persönliche Fehlvorstellungen abzubauen. Offenbar sind seit rund 50 Jahren immer noch die gleichen Fehler weit verbreitet (vgl. auch meinen vorigen Abschnitt "Wissenschaftskrise u.a. wegen falsch verstandener Hypothesentests")!

Reinharts Tipps für bessere Kurse bzw. besseren Unterricht, der Lernende zwingt, ihre Ansichten zunächst klar zu äußern und sich (erst) danach mit dem richtigen Weg soweit auseinander zu setzen, dass Diskrepanzen erkannt und falsche Auffassungen dauerhaft korrigiert werden, sind für Dozenten und auch Lehrer durchaus interessant. Seinem Appell, wichtige Untersuchungen immer von einem ausgebildeten Statistiker begleiten zu lassen, kann man nur zustimmen - ebenso dem Wunsch, statt Testergebnisse der Art „mit p-Wert 5% besser als das Placebo (bzw. die Standardarznei)" lieber Konfidenzintervalle für die neue Wirksamkeit in der Form „lässt 19 % bis 48 % der Erkrankten innerhalb 1 Woche genesen" anzugeben. Die Breite des Intervalls macht auch die (Un-)Sicherheit der Aussage deutlich. Außerdem plädiert er für die Vorab-Berechnung und Angabe der Teststärke sowie für die Veröffentlichung aller (Roh-)Daten z.B. auf geeigneten Internet-Servern, um Studien überprüf- bzw. nachvollziehbar zu machen.

Auch wenn man Einiges über Medikamententests erfährt und gute Tipps erhält: Wegen der abweichenden Zielgruppe und des vorausgesetzten Wissens ist das Buch für die Schule nur bedingt geeignet; beim reduzierten Preis für Studium und Praxis aber dringend zu empfehlen.



Hinweis: Zwei weitere, ältere Buchsbesprechungen finden sich weiter oben auf dieser Seite!




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Einführung in die Integralrechnung
u.a. mit Fotovoltaik und Weinflasche

Im Leistungskurs 12 (jetzt Q1) hatte ich das (Riemannn-)Integral bzw. zunächst die Idee der Summenbildung für die Flächenbestimmung mit Daten unserer Fotovoltaik-Anlage eingeführt. Dann wurde in einem Rollenspiel zwischen Käufern und Verkäufern um die Größe einer krummlinig berandeten Wiese gefeilscht. Mit Excel-Arbeitsblättern wurde anschließend die Wiesenfläche durch Ober- und Untersummen hinreichend genau bestimmt. Näheres gibt's auf der

Extra-Seite: Integralrechnung/Flächenberechnung mit Fotovoltaik-Daten, einer Wiese und Excel



Und weil ich 2005 an einem MuPAD-Kurs teilgenommen hatte, habe ich die damals im Unterricht "normal" (also ohne das CAS-Programm) durchgeführte Bestimmung des Volumens einer Weinflasche zur meiner Übung mit dem Programm dokumentiert. Das erstellte Notebook wurde im Mai 2005 auf dem MuPAD-Server veröffentlicht. Nachdem MuPAD seit Oktober 2008 nicht mehr als eigenständiges Programm existiert, wurden allerdings auch die MuPAD-Webseiten eingestellt. Vorübergehend war -- bis Sommer 2009 -- auf private Initiative eines MuPAD-Mitarbeiters ein Großteil des Materials noch auf dem Bildungsserver der Zentrale für Unterrichtsmedien erreichbar. Jetzt gibt es offenbar keine zusammenhängende Sammlung der Materialien mehr. Natürlich können Sie meinen Beitrag hier in meinem Webangebot ansehen bzw. herunter laden. Die vielen dort eingearbeiteten Verweise auf andere MuPAD-Seiten gehen allerdings inzwischen ins Leere...

RotationskoerperWeinflasche.pdf (190 kB)
Rotationskoerper_Weinflasche.mnb (ca. 400 kB; Notebook für MuPAD 3.1)
bzw. Rotationskoerper_Weinflasche.mn (ca. 250 kB; für MuPAD 4)



Hinweise: Die Einführung in die Integralrechnung mit Fotovoltaik, Excel und der Wiese ebenso wie die Weinflasche wurden im Mai 2005 auch als MUED-Unterrichtseinheiten (AN-09-04 bzw. AN-10-05) aufgenommen und können von MUED-Mitgliedern unter http://www.mued.de im SII-Analysis-Bereich als pdf-Dateien eingesehen bzw. herunter geladen werden. Außerdem diente mir die Wiese als Testaufgabe bei der Besprechung der CAS-Programme Derive, MuPAD und GeoGebra auf meiner Seite "Rezensionen von Mathematik-Software, Teil c)" (s.o.).



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Trigonometrie und Fotovoltaik

Hier geht es -- ähnlich wie bei der gerade zuvor erwähnten Einführung in die Integralrechnung -- um die Einbindung unserer Fotovoltaik-Anlage in den (Mathematik-) Unterricht, jetzt in der SI. Einen Stundenentwurf für die 10. Klasse gibt's auf einer

Extra-Seite


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Größte bekannte Primzahl

Auch im Januar 2021 gilt noch (vgl. mersenne.org): die größte bekannte Primzahl ist immer noch die von Patrick Laroche aus Florida am 7.12.2018 entdeckte einundfünfzigste Mersenne-Primzahl: 2 82 589 933 - 1. Diese Zahl ist mit fast 25 Millionen Stellen (die ausgedruckt über 1000 km lang wären) die größte bisher gefundene Primzahl der Welt. Schon mit der Länge der 45. Primzahl war 2008 erstmals die 10-Mio-Dezimalstellen-Grenze überschritten und damit der von der Electronic Frontier Foundation zum Jahr 2000 ausgelobte Preis von 100 000 US-$ gewonnen worden (den die Organisatoren des GIMPS-Projekts 2009 allerdings unter mehreren Teilnehmern aufgeteilt haben - es ist ja eher Zufall, wer welche Zahl zum Prüfen kriegt; s.u.).

Die preisgekrönte 45. Mersenne-Primzahl wurde 2008 übrigens in Langenfeld im Rheinland (zwischen Köln und Düsseldorf) entdeckt. Diese inzwischen nur noch siebtgrößte bekannte Primzahl kann als 2 37 156 667 - 1 angegeben werden und hat, rechnet man die Potenz (und Differenz) wirklich aus, 11 182 272 Dezimalstellen!

Die im September 2006 entdeckte 44. Mersenne-Primzahl 232.582.657 - 1 hatte noch nur 9,8 Millionen Stellen und war -- wie schon die 43. Mersenne-Primzahl -- vom Team unter Curtis Cooper an der Central Missouri State University gefunden worden (wo dann 2016 auch die 49. Mersenne-Zahl gefunden wurde). Dort werden mehr als 700 Uni-PCs nach Feierabend genutzt. Alle hier genannten Primzahlen wurden nämlich im Rahmen des GIMPS-Projektes dadurch erkannt, dass viele PC-Besitzer(innen) ihre(n) Computer zu Hause (oder in der Uni bzw. am Arbeitsplatz), wenn sie ihn/sie nicht selber brauchen, in den Dienst der Primzahlprüfung stellen. So wurde z.B. die 42. Mersenne-Primzahl im Sommer 2005 zufällig nach nur 5 Tagen Rechenarbeit von den 24 Rechnern in einem deutschen Augenzentrum aufgespürt. Davor hatte ein kanadischer Schüler nach 45 Tagen Rechenzeit auf seinem Home-Computer vorübergehend den Rekord mit der bis dahin größten bekannten Primzahl inne.

Tatsächlich dauert der Test, ob eine um eins verminderte Zweierpotenz mit großer Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist, bei heute üblicher Hardware meist nur noch einige Tage bis wenige Wochen. Ist auf Rechnern mit unterschiedlicher Hardware und mit zwei verschiedenen Programmen eine Zahl als vermutliche Primzahl erkannt, wird sie bekannt gegeben. Der endgültige, exakte Test dauert dann aber noch mehrere Jahre. So konnte erst im April 2018 die 47. Mersenne-Primzahl endgültig als sicher bestätigt werden; die neueren Zahlen sind noch nicht völlig sichere Primzahlen.

Selbst wenn man jetzt weiß bzw. mit hoher Wahrscheinlichkeit annimmt, dass 2 82 589 933 - 1 oder die Anfang 2018 entdeckte 50. Mersenne-Zahl 2 77 232 917 - 1 Primzahlen sind, kann man solche Zahlen nicht mehr auf dem Taschenrechner anzeigen lassen - auch nicht in wissenschaftlicher Darstellung (Der Taschenrechner zeigt die ersten zehn oder zwölf Stellen von maximal 100-stelligen Zahlen [rund 0,000 004 % der für die 51. Mersenne-Zahl benötigten Größe]; längere Zahlen führen zum "Error"). Aber auf dem PC gelingt es in einigen Tagen bis Wochen, alle fast fünfundzwanzig Millionen Stellen aus der gegebenen Potenz zu berechnen. Bisher konnte jeder selbst dazu das kleine kostenlose WinCalc von Rick Parris benutzen. Leider ist im März 2020 WinCalc bzw. die gesamte Peanut-Mathe-Software nicht mehr auf den Seiten der Philips Exeter Academy in New Hampshire/USA zu finden, wo R. Parris früher unterrichtet hat. Einzelne Programme findet man gelegentlich auf Shareware-/Freeware-Seiten; Alternativen für das gesamte Peanut-Paket nenne ich unten auf dieser Seite bei den Verweisen (s.u., drittletzter Link; dort auch zusätzliche Oberfläche).

Im 17. Jahrhundert war dem Mönch und Mathematiker Mersenne aufgefallen, dass einige Primzahlen eine Darstellung der Form 2n - 1 haben, z.B. 3 = 22 - 1 oder 7 = 23 - 1. Allerdings können keineswegs alle Primzahlen nach dieser Formel berechnet werden: 5, 11 oder 13 sind zum Beispiel Primzahlen, ohne Mersenne-Primzahlen zu sein. Andererseits sind viele Zweierpotenzen minus eins auch keine Primzahlen, wie etwa 24 - 1 = 15 = 3 • 5. Tatsächlich sind im Bereich der größeren Zahlen die Mersenne-Zahlen sogar sehr selten. Deshalb muss viel probiert werden - eben auf vielen Computeren im GIMPS-Projekt - bis wieder eine Mersenne-Zahl entdeckt wird. Und auch unterhalb der jetzt bekannten größten Primzahl gibt noch ganz viele unbekannte Primzahlen, die eben nicht als Mersenne-Zahlen darstellbar sind und noch auf ihre Entdeckung warten! [Mehr über Mersenne-Primzahlen gibt's z.B. auf den Seiten http://www.achimpassauer.privat.t-online.de/homepage.htm oder auch bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl].

Beim GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search, inzwischen auf www.mersenne.org) probiert man einfach nacheinander für alle natürlichen Zahlen n aus, welche Ergebnisse nach der Formel 2 n - 1 tatsächlich Primzahlen sind. Die allermeisten sind keine Primzahlen, aber die Zahlen, die der kanadische Schüler, der deutsche Augenarzt, das Central-Missouri-Team, der Langenfelder H. Elvenich, zuletzt Jonathan Pace oder jetzt Patrick Laroche überprüft haben, waren Primzahlen. Viele, viele andere Teilnehmer am GIMPS-Projekt hatten hingegen Pech: die von ihnen überprüften Zahlen erwiesen sich nach langem Rechnen doch als teilbar. Dank eines verbesserten Algorithmus geht die Berechnung inzwischen übrigens rascher!

Einen wirklich praktischen Nutzen haben Primzahlen dieser Größe allerdings (noch?) nicht: für die Kryptologie sind sie zu groß (die dort verwendeten 'großen' Primzahlen haben 20 bis maximal 100 Dezimalstellen und sind besser keine der ja relativ leicht auffindbaren Mersenne-Zahlen). Die GIMPS-Rechnungen dienen also eher dem Spaß, der Freude bei der Teilnahme/Teilhabe an etwas Großem, der Rekordjagd, der Suche nach und dem Test von immer schnelleren Primzahl-Erkennungs-Programmen und letztlich auch dem Hardware-Stress: 2016 hat u.a. eine deutsche Gruppe während ihrer Berechnungen wieder einen Fehler im Prozessor gefunden. Und vielleicht lockt auch das Geld. Zwar wurde der Preis aus ihrem Millenium-Aufruf schon 2009 für die 45. Mersenne-Zahl gezahlt, aber für die erste Primzahl mit mindestens 100 Millionen Stellen (statt jetzt 25 Millionen) will die Electronic Frontier Foundation nochmal 150 000 US-Dollar ausgeben (vgl. http://www.eff.org/awards/coop.php)!

Einen Überblick über weitere Projekte geballten Home-Computereinsatzes im Internet gibt z.B.

http://www.rechenkraft.de ;

spektakulär ist auch die im September 2019 erreichte Lösung zur Antwort 42 mit rund 500 000 Computern (s.u.).

Übrigens: Bei dem wohl bekanntesten Projekt mit verteilter Rechenleistung haben 20 Jahre lang zeitweilig über drei Millionen PCs in aller Welt daran gearbeitet, jeweils kleine Stücke der von Radioteleskopen aus dem Weltraum aufgenommenen Daten nach intelligent wirkenden Mustern zu durchforsten, um so nach Signalen außerirdischer Lebewesen zu suchen: Das Seti@home-Projekt hatte damit zeitweise mehr als die doppelte Rechenkapazität des damals leistungsfähigsten und schnellsten Supercomputers der Welt, "BlueGene/L", wie die Physikalisch-Technische Bundesanstalt in der gedruckten Ausgabe ihrer Zeitschrift "Maßstäbe" im September/Oktober 2005 gemeldet hatte. Im März 2020 werden allerdings die letzten Schnipsel der empfangenen Daten an die zuletzt noch 1,8 Millionen Teilnehmer verschickt, wie heise.de meldet. Gefunden wurden in den 20 Jahren trotz aller Mühen aber keinerlei Anzeichen dafür, dass es Aliens gibt oder sie mit uns in Kontakt treten wollten. Aber nicht das Ausbleiben fremder Signale führte zum Ende des Projekts: neue Detektoren in den Radioteleskopen liefern inzwischen offenbar so schnell und so viele Daten, dass sie vor Ort vorsortiert und vorgeprüft werden müssen und belangloses Material direkt verworfen wird, statt gespeichert und versendet werden kann.

Inzwischen haben aber viele Firmen die Möglichkeiten des verteilten Rechnens entdeckt; angeblich nutzen vor allem Pharmaunternehmen ihre Bürocomputer auch schon zur rechenintensiven Simulation von Molekülstrukturen. Und das europäische (Kern-)Forschungszentrum CERN, das schon mit der Erfindung der Hyperlinks und der Entwicklung des WWW (world wide web) 1993 dem Internet zum Durchbruch verholfen hat, nimmt sich inzwischen des verteilten Rechnens im Internet an und versucht, allgemeine Regeln und Verfahren für das Grid-Computing zu entwickeln, u.a. um die hohe für die Teilchenphysik benötigte Rechenleistung auf viele Geräte zu verteilen. Grundsätzliche Informationen gibt's beim Worldwide LHC Computing Grid des CERN oder auch vom Open Grid Forum sowie auf der BOINC-Übersichtsseite (BOINC = Berkeley Open Infrastructure for Network Computing im Auftrag von Science United).

Und aktuell kann verteilte Rechenkraft genutzt werden, um die Entwicklung von Medikamenten und Impfstoffen gegen das Coronavirus zu beschleunigen, wie zuerst Jörg Schieb berichtet: Insbesondere Computer-Spieler sind aufgerufen, ihre leistungsfähigen Rechner dem Projekt folding@home zur Verfügung zu stellen, das sich schon bisher der Analyse von Krankheitserregern verschrieben hat, sich jetzt aber speziell auch der Bekämpfung des Coronavirus widmet. Inzwischen rufen auch z.B. der Antiviren-Software-Hersteller Avast oder der Internet- und Handy-Provider Vodafone (mit eigener Handy-App DreamLab) dazu auf, Rechenzeit für die Impfstoff-Entwicklung bereit zu stellen.


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Schnelle Primzahlprüfung

Den Informatikern Agarwal, Kayal und Saxena war Ende 2002 in Indien ein Durchbruch in der Primzahl-Prüfung gelungen.

Um festzustellen, ob eine Zahl Primzahl ist oder nicht, musste früher mit allen kleineren Zahlen ausprobiert werden, ob sie die vermutete Primzahl teilen. Zwar konnten einige Zahlen weg gelassen werden: Will man wissen, ob z.B. 1001 eine Primzahl ist, ist der größte Teiler, den man probieren muss, die Wurzel aus 1001 bzw. die nächstkleinere ganze Zahl (hier 31) (weil Wurzel(p) mal Wurzel(p) die Primzahl p ergibt. Ein größerer Faktor auf der einen Seite hätte einen kleineren Faktor auf der anderen Seite zur Folge, so dass die Kombination schon beim kleinen Faktor gefunden würde). Mit anderen Worten, man müsste die Divisionen 1001 : 2, 1001 : 3, 1001 : 4, 1001 : 5, .. , 1001 : 31 durchführen und jedesmal prüfen, ob sie restlos aufgehen. Nur wenn keine Division mit ganzem Ergebnis gelingt, ist die 1001 eine Primzahl. Zwar können noch einige mögliche Teiler weg gelassen werden (wenn 1001 nicht durch 2 teilbar ist, braucht man 4, 6, 8.. oder andere Teiler aus der Zweierreihe nicht mehr probieren - Gleiches gilt natürlich für alle anderen Reihen! Außerdem können gerade Zahlen > 2 nie prim sein, sodass man sich die Überprüfung mit 2 und ihren Vielfachen sowieso schenken kann). Dies fiel schon vor rund 2300 Jahren dem Griechen Eratosthenes auf ("Sieb des Eratosthenes"). Bleiben auf diese Weise nur 10 % der kleineren Zahlen als mögliche Teiler übrig, so müssen hier nur 3 Divisionen durchgeführt werden, um festzustellen, ob 1001 prim ist (es sei denn, man hat schon vorher einen echten Teiler gefunden und weiß deshalb, dass 1001 keine Primzahl ist).

3 Rechenoperationen gehen bei einem Computer natürlich blitzschnell. Um herauszufinden, ob die etwa zehn Mal so große Zahl 10 001 eine Primzahl ist, wären dann 10% von Wurzel(10 001), also etwa 10 Operationen nötig. Für jede zusätzliche Stelle der Primzahl verdreifacht sich ungefähr die Anzahl der Divisionen. Um die neun- bzw. zehnstellige Zahl 1 000 000 001 = 10 9 + 1 auf ihre Primzahleigenschaft zu prüfen, wären dann 31 621 Divisionen nötig - mit einem Computer in wenigen Sekunden machbar.

Und für eine vermutete Primzahl mit 4 Millionen Dezimalstellen wären nach diesem Verfahren nicht etwa 400 000 (= 10 % von 4 Millionen) Divisionen, sondern 0,1 • 10 2 000 000 (= 10 % von Wurzel(10 4 000 000)) Divisionen nötig. Selbst ein schneller Computer, der pro Sekunde 10 000 Divisionen durchführen kann, wäre damit 0,1 • 10 2 000 000 Sekunden = 2,7 • 10 1 999 995 Stunden = 3,2 • 10 1 999 991 Jahre beschäftigt. Ziemlich lange, wenn man bedenkt, dass unser Weltall bisher nur etwa 13,7 Milliarden Jahre = 1,37 • 10 10 Jahre alt ist. Auch die Vertausendfachung der Rechenleistung bringt hier keinen spürbaren Gewinn (dann wären es "nur" noch 3,2 • 10 1 999 989 Jahre!). Außerdem ist hat die inzwischen größte Primzahl nicht 4, sondern fast 25 Millionen Stellen.

Jedes Rechenverfahren, dessen Aufwand mit dem Wert der untersuchten (Prim-)Zahl ansteigt (das also mit dem Exponenten oben an der 10 wächst, weswegen man von exponentiellem Aufwand spricht), ist für große Zahlen nicht mehr in annehmbarer Zeit durchführbar. Für eine Reihe von Problemen (u.a. der Suche nach einem optimalen Stundenplan) sind bisher nur Verfahren mit exponentiellem Aufwand bekannt (weswegen sich praktische Verfahren mit einem nicht optimalen Stundenplan begnügen müssen). Auch das verbreitete RSA-Verschlüsselungsverfahren macht sich zu Nutze, dass eine Entschlüsselung nach der durchaus bekannten Methode wahrscheinlich so viele Jahre bzw. Jahrzehnte dauern würde, dass bis dahin jede Nachricht ihren Wert verloren hat.

Erst seit etwa 1985 gibt es schnellere Verfahren für die Prüfung auf die Primzahl-Eigenschaft, die aber zum Teil stochastische Methoden benutzen und nicht immer zuverlässige, exakte Aussagen liefern.

Deshalb ist es von entscheidendem Vorteil, wenn Agarwal, Saxena und Kayal 2002 ein Verfahren gefunden haben, das nicht mehr exponentiell, sondern nur noch in Polynomzeit vom Wert der zu untersuchenden Primzahl abhängt. Nach diesem Verfahren ist der Aufwand nicht mehr exponentiell durch (0,1 • ) 10 Stellenzahl der Primzahl / 2 , sondern nur noch durch Stellenzahl 7,5 beschränkt, d.h. für eine Primzahl mit 4 Millionen Stellen wären "nur" etwa 4 000 000 7,5 = 3,3 • 10 49 Rechenoperationen nötig - viel viel weniger als 0,1 • 10 2 000 000 Operationen, aber immer noch eine riesige, kaum zu bewältigende Zahl: der besagte Computer würde immer noch rund 10 38 Jahre ( = 10 28 mal das Alter unseres Universums) brauchen. Soweit die wenig ermutigende Komplexitätstheorie.

Allerdings gibt es für Primzahlen spezieller Bauform (wie für die oben erwähnten Mersenne-Zahlen oder für Fermat-Primzahlen) unter Ausnutzung ihrer besonderen Gestalt deutlich schnellere Verfahren - sonst wären auch mit verteilter Rechenkraft nicht so viele Mersenne-Primzahlen zu finden gewesen wie im vorstehenden Abschnitt beschrieben. Mersenne-Primzahlen können etwa mit dem Lucas/Lehmer-Test rasch (d.h. binnen Tagen oder Wochen statt in Jahrmilliarden) geprüft werden (https://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl) und für die Fermat'schen Primzahlen nannte Wikipedia früher die schnellen Tests nach Pepin oder Suyama, auf die im/seit Sommer 2014 allerdings nicht mehr verwiesen wird (https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl).




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 Endlich Frage zur universellen Antwort 42 gefunden?

Foto: 4 Bücher von D. AdamsIn seiner 1979 mit dem Buch "Per Anhalter durch die Galaxis" begonnenen Sciene-Fiction-Reihe berichtet der Autor Douglas Adams (GB 1952 - USA 2001), dass ein Computer namens "Deep Thought" nach 7,5 Millionen Jahren Rechenzeit endlich die Antwort auf alle Fragen der Welt gefunden habe - nämlich die Zahl 42. Leider war über die lange Zeit die genaue Frage vergessen worden (bzw. war die Aufgabe wohl nie präzise gestellt worden), so dass man herzlich wenig mit der Antwort anfangen konnte. Zur Ermittlung der passenden Frage musste erst ein neuer, noch größerer Computer gebaut werden, der u.a. die gesamte Erde enthielt - die allerdings wegen einer intergalaktischen Umgehungsstraße gesprengt wird, kurz bevor der neue Computer mit seinen Berechnungen fertig war. Die Lösung wird daher nie gefunden und es bleibt Raum für Spekulationen um die Bedeutung der 42. Douglas Adams selbst hat nach eigenem Bekunden die Zahl zufällig ausgewählt und hatte keinen bestimmten Hintergedanken, auch wenn seither viele Theorien aufgestellt wurden (s.u., Verweise am Ende dieses Artikels).

Mitte September 2019 ist es nun gelungen, mit verteilter Rechenkraft (s.o.) endlich für die letzte natürliche Zahl z unter 100 die diophantische Gleichung

 (*) a 3 + b 3 + c 3 = z 

zu lösen, d.h. letztlich durch Ausprobieren die ganzen Zahlen a, b und c zu finden, deren Kubiksumme z ergibt. Angeblich hat sich der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria um 250 n.Chr. erstmals mit der Summe dreier Kubikzahlen beschäftigt (heute bezeichnet man allgemeiner alle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und Lösungen als diophantisch). Während die Lösung von (*) für z = 47 mit betragsmäßig kleinen Zahlen gelingt - nämlich z.B. a = 6, b = -8 und c = 7, weil  6 3 + (-8) 3 + 7 3 = 47 ist -, sind die Lösungen für andere Zahlen z oft weitaus größer und viel schwerer zu finden. Für manche z, nämlich wenn z : 9 den Rest 4 oder 5 ergibt, ist eine Lösungen gänzlich unmöglich, wie inzwischen bewiesen wurde. Anfang 2019 blieben von den Zahlen z unter 100, die nicht das Ausschlusskriterium z % 9 = 4 oder z % 9 = 5 erfüllten (wobei % die Java-Schreibweise für mod[ulo] ist), nur noch die Zahlen 33 und 42 ohne gefundene Gleichung. Nachdem im April 2019 mit drei 16-stelligen Zahlen eine Lösung für z = 33 ermittelt werden konnte, blieb ausgerechnet die Zahl 42 übrig. Die Antwort z = 42 war sozusagen bekannt, die Frage bzw. das a, b und c der linken Gleichungsseite musste aber noch gefunden werden. Ähnlich wie bei Adams gelang das mit weltumspannender Computerhilfe! Durch den Einsatz von rund einer halben Million Computern wurde im September 2019 dieses letzte Rätsel (für z unter 100) mit drei 17-stelligen Zahlen gelöst: a = -80 538 738 812 075 974, b = 80 435 758 145 817 515 und c = 12 602 123 297 335 631 erfüllen zusammen mit z = 42 die Gleichung (*). Jetzt geht die Suche weiter für z bis 1000. Momentan ist z = 114 die kleinste Zahl mit bisher unbekannter Lösung (a, b, c).

Zwar ist nun für z = 42 die diophantische Gleichung (*) gelöst; die "Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest" (Douglas Adams) bleibt hingegen offen. Der Sinn des Lebens und "von allem" ist wohl kaum eine einfache Gleichung mit drei dritten Potenzen. Ob es bei der universellen Sinnfrage hilfreich ist, dass die Antwort 42 dank Deep Thought ja schon bekannt sein soll?

Wer im Netz weiter suchen will (obwohl dort besser nicht der Lebenssinn gesucht werden sollte), findet u.a.: einen Bericht über die Lösung für z=33 bei scinexx, Berichte über die Lösung für z=42 auf Spiegel online, bei Zeit online oder im kurzen Video im web.de-Magazin sowie Allgemeines über die "Antwort 42" von D. Adams z.B. auf Wikipedia oder im 10-min-Film auf Youtube (mit vielen angeblichen und echten Eigenschaften der 42). Theoretische Informatikerinnen und Informatiker wissen allerdings längst, dass Sinnfragen von Computern prinzipiell nicht beantwortet werden können - also auch nicht von Deep Thought oder einem noch so großen Nachfolger. Daran erinnert Professorin Schweikardt von der Uni Frankfurt in ihrer als pdf-Datei verfügbaren Präsentation 'Die Grenzen der Berechenbarkeit'.

 


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 Können Wirtschaftswissenschaftler und Banker keine Mathematik?

Beim Besuch einer Filiale der Deutschen Bank fiel mir auf der Rückseite des ‚Perspektiven'-Hefts 08-09/2018 ein Artikel ins Auge. Unter der Überschrift ‚Serie Finanzwissen: Konjunkturzyklus' wurden die klassischen vier Phasen wirtschaftlicher Entwicklung beschrieben und durch folgenden Graphen illustriert:

Scan des Konjunkturgraphen aus einem Werbeheft der Deutschen Bank

Ich stolperte über die Bezeichnung der markierten Punkte im Graphen, die in der Mathematik ja als Extrem- und keineswegs als Wendepunkte bekannt sind. Eine e-Mail-Nachfrage, ob die Wendepunkte nicht richtigerweise an den Übergängen zwischen den einzelnen Phasen zu finden wären, ergab, dass man bei der Redaktion durchaus die Analysis kennt: "Sie haben natürlich Recht, wenn Sie anmerken, dass in der Mathematik der Wendepunkt für den Punkt steht, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. In der Volkswirtschaftslehre wird der Begriff Wendepunkt im Zusammenhang mit der Darstellung der Konjunkturphasen - zumal bei vereinfachten Darstellungen - jedoch so verwendet, wie wir es in ‚Perspektiven' getan haben...". Zum Beleg wurde auf eine Reihe von Online-Publikationen mit gleichem Sprachgebrauch verwiesen, u.a. auf einen Artikel aus dem renommierten Gabler's Wirtschaftslexikon oder auf eine Veröffentlichung der Bundeszentrale für politische Bildung, die auf dem Wirtschafts-Duden beruht.

Offenbar geht die abweichende Bezeichnung auf den Österreicher/Deutschen/US-Amerikaner Joseph Alois Schumpeter (1883-1950) zurück. Er war eine schillernde Persönlichkeit, hat wohl erstmals in größerem Stil mathematische Formeln zur Beschreibung wirtschaftlicher Vorgänge verwendet und bahnbrechende Theorien über die wirtschaftliche Entwicklung aufgestellt - die auch heute nach der Bankenkrise wieder weltweit Beachtung finden. Im Gegensatz zum gleich alten Briten John Maynard Keynes (1883-1946) konnte er die Weltwirtschaftskrise um 1930 besser erklären. Seiner Meinung nach ist aber nicht primär Geldgier, sondern Kreativität und unternehmerische Innovation der Motor der Konjunktur: Neues (und oft, aber nicht immer Besseres) führt zur Verdrängung bzw. ‚Schöpferischen Zerstörung' des Alten. Wirtschaftliche Umbrüche und Krisen haben seiner Meinung nach eine nötige Reinigungswirkung. Der Kapitalismus führe allerdings zu zunehmender Ungleichverteilung und schaffe sich langfristig selbst ab. Von Schumpeter sind viele Bonmots überliefert (u.a.: "Eher legt ein Hund einen Wurstvorrat an, als dass eine demokratische Regierung Haushaltsrücklagen bildet"). Ob aber die Umbenennung von Extrem- zu Wendepunkten als bewusster Akt der schöpferischen Zerstörung überkommener Mathematik-Traditionen gedacht (oder einfach ein Versehen) war, ist nicht bekannt. In der Schule - laut Wikipedia legte er das Abitur bzw. die Matura am Theresianum in Wien ab - soll Schumpeter jedenfalls sehr gut gewesen sein.
Und ehrlicherweise ist die nun seit fast 90 Jahren übliche Begriffsverwendung durch die Nationalökonomen fast naheliegender als der unglückliche mathematische Sprachgebrauch von "Wendepunkt". Denn die Verwendung des Begriffs in der Mathematik hat ja mit Wenden (im alltäglichen Sinne von Umkehren) wenig zu tun und weckt eher irreführende Assoziationen - wie jede Mathe-Lehrerin und jeder Mathe-Lehrer weiß, der den Begriff jedes Jahr unvoreingenommenen Schülerinnen und Schülern der Einführungsphase nahebringen muss. "Krümmungswechselpunkt" wäre sicher die bessere, verständlichere mathematische Bezeichnung.

Bleibt noch die Frage, ob die Konjunkturfunktion als eigenständige Funktion eher uninteressant ist, aber als Ableitungsfunktion zur Beschreibung der zeitlichen Änderung einer wichtigeren Größe mehr Sinn macht. Denn die Extremstellen der Konjunkturfunktion wären die (mathematischen) Wendestellen ihrer Stammfunktionen. Allerdings hat das Integral ‚Konjunktur mal Zeit' offenbar keine wirtschaftlich sinnvolle Bedeutung, der Konjunkturverlauf selbst hingegen schon, sodass hier kein Grund für die Begriffsveränderung gefunden wird.




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Entspricht ein Hundejahr sieben Menschenjahren?



Symbolbild eines HundesAnfang Juli 2020 konnte man vielerorts lesen (online u.a. bei n-tv oder web.de), dass die altbekannte Faust- bzw. Pfoten-Regel "1 Hundejahr = 7 Menschenjahre" ausgedient habe. Zweifel waren bisher schon angebracht, weil Hunde meist schon nach einem Dreivierteljahr geschlechtsreif werden -- was nur 5,25 Menschenjahren entspricht. Kalifornische Biologen haben nun durch Vergleich der Methylierung der Erbsubstanz in den Zellen festgestellt, dass dieser Alterungsprozesse bei Hunden und bei Menschen unterschiedlich schnell abläuft und nicht linear (d.h. direkt proportional) korreliert ist. Die Zell-DNA der etwas über 100 untersuchten Labrador-Hunde verändert sich anfangs viel schneller und später relativ langsamer als beim Menschen. Angeblich würde der Zusammenhang durch die neue Formel

vergleichbare Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre) + 31

viel zutreffender ausgedrückt. Dabei ist ln der natürliche Logarithmus, d.h. der Logarithmus zur Basis e (e = Eulerzahl, ungefähr 2,718..). Spätestens wenn man den Graph zeichnet, erscheint die Formel für junge Hunde allerdings wenig plausibel:

Graph der neuen Hundeformel

Denn danach würden Hunde nicht mit null geboren, sondern mit einem beliebig negativen Menschenalter starten! Denn der ln ist für 0 gar nicht definiert und hat für kleine positive Argumente stark negative Werte, d.h. geht bei Hundejahre gegen null gegen Minus-Unendlich. Erst bei einem Hundealter von etwa 52 Tagen wird das vergleichbare Menschenalter erstmals positiv. Die Arbeitsgruppe von Wang, Ma, Hogan,... u.a. am Lehrstuhl von T. Ideker an der Universität von San Diego zeigt in der Online-Veröffentlichung (die Ende August 2020 offenbar unverändert gedruckt wurde) den gleichen Graphen (Bild 3D auf der mit "4" nummerierten fünften Seite der pdf-Datei), ignoriert aber das Problem, obwohl auch dort der Graph erkennbar nicht durch den Ursprung geht. Es werden weder konkrete Wertepaare genannt -- sondern nur eine Fläche gefärbt (Bild 3A) bzw. Punktwolken für nur fünf (am besten passende?) Hunde gezeichnet (Bilder 3B und 3C) -- noch wird erwähnt, warum überhaupt eine logarithmische Regression gewählt wurde. Man erfährt lediglich, dass die Formel eine Art Kompromiss zwischen "Menschenjahre = 17 * ln (Hundejahre)+33" und "Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre)+30" sein soll. Diese beiden Formeln weisen schon das gleiche Problem auf.

Wahrscheinlich wurde zur Ermittlung der Formeln ein Mathematik-Programm wie z.B. MatheAss (abgebildet ist hier noch die Version 8.1) benutzt, das verschiedene Regressionen anbietet. Weil die Graphen der meisten anderen Funktionstypen nicht oder in die falsche Richtung gekrümmt wären und daher viel ungeeigneter waren, blieb offenbar die logarithmische Variante übrig. Und weil dann der grobe Verlauf ab dem 2. (Hunde-) Monat in etwa passte, haben sich die Biologinnen und Biologen anscheinend keine weiteren Gedanken zur Gültigkeit der Formel oder zu mathematischen Implikationen gemacht und keine (vermutlich auch in ihrem Programm mögliche und nötige) geringfügige Verschiebung probiert, mit der das Problem hätte verborgen werden können, wenn z.B. "Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre + 0,144) + 31" gefunden worden wäre. Allerdings ist nicht einsichtig, wieso überhaupt ein logarithmischer Zusammenhang bestehen soll. Denn anders als in der Physiologie, wo die subjektive Reizwahrnehmung ungefähr logarithmisch mit der objektiven Reizintensität zunimmt (was zum Weber/Fechner-Gesetz führte), gibt es hier keinerlei Kausalkette. Es wäre besser gewesen, die Zusammenhänge in einer empirischen Tafel (ähnlich den Diagrammen von Babynahrungsherstellern für typische Größen und Gewichte von Säuglingen) mit breitem Streubereich darzustellen. Wenn zur Bequemlichkeit doch eine Formel gefunden werden soll, hätte meiner Meinung nach eher eine liegende Parabel ausprobiert werden sollen, also eine Potenzfunktion der Form "Menschenalter = A * Hundelalter B ", wobei der Exponent B zwischen 0 und 1 liegen müsste (in MatheAss als 'Geometrische Regression' zu finden). Solche Funktionen gehen immer durch den Ursprung geht (weswegen MatheAss ärgerlicherweise den redundanten Messpunkt (0|0) als unzulässig zurückweist). Aber ohne die Messwerte der Hundestudie können weder A noch B berechnet werden, noch kann beurteilt werden, ob nicht ein mal links-, mal rechtsgekrümmter Spline besser passen würde. Schade.

Die von Wang u.a. genannte Formel kann jedenfalls nicht ohne Weiteres akzeptiert werden. Möglicherweise haben sich die Forscher bei der für sie vielleicht eher fremden Mathematik unhinterfragt auf die scheinbare Autorität eines Programms verlassen, auch wenn sie die Software eventuell nicht vollständig bedienen wollten oder konnten bzw. das übernommene Ergebnis nicht geprüft oder verstanden haben. Ähnliches findet man leider immer wieder selbst bei Wissenschaftlern, die in ihrem eigentlichen Fachgebiet durchaus hervorragende Leistungen erbringen. Jedenfalls können Skepsis und Plausibilitätsprüfungen nie schaden, bevor man sich auf gefundene Formeln verlässt. Von Medien, die über die Studie berichten, ist jedenfalls keine eigene Kontrolle zu erwarten -- weder von den beiden eingangs genannten deutschen Quellen, noch von den auf die Ankündigung wissenschaftlicher Neuerscheinungen spezialisierten Fachportalen, wie etwa den englischsprachigen Webseiten EurekAlert! oder genengnews. Hoffentlich sind die Zelluntersuchungen verständiger durchgeführt worden und die herangezogene DNA-Metylierung kann als verlässlicher Indikator für den gesamten Alterungsprozess gelten.

P.S.: Die neue Version 9.0 (erhältlich seit September 2020) von MatheAss hat noch einen weiteren Regressionstyp spendiert bekommen. Wegen der Coronakrise bot der Autor Schultheiss schon vorab (und auch noch im Oktober 2020) die "logistische Regression" (unter dem Namen Verhulst) als eigenständiges Programm kostenlos an. Damit können passende Näherungsgraphen für logistisches Wachstum etwa durch die vom Robert-Koch-Institut gemeldeten Infiziertenzahlen aus Februar und März gelegt werden -- ähnlich meinem dunkelgrünen Graph weiter oben auf dieser Seite bei den  4 Wachstumsmodellen!




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