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Informatik mit Java

Teil t): Simulation einer Turing-Maschine in/mit Java



Das Projekt, eine Turing-Maschine in Java zu programmieren, wird im Folgenden hier - und nach und nach auf weiteren Seiten - ausführlich vorgestellt. Dabei werden die Entwurfsentscheidungen aufgezeigt, alternative Möglichkeiten angesprochen und der Weg bis zum fertigen Programm nachvollziehbar dargestellt. Bevor man aber eine Turingmaschine programmieren kann, muss man erstmal wissen, was eine Turingmaschine ist und wie sie funktioniert.

Projekt: Entwicklung einer Turing-Maschinen-Simulation

Eine vollständige Übersicht aller "Informatik mit Java"-Seiten gibt's auf der Informatik-Hauptseite. Viele der dort aufgeführten Seiten enthalten ausführlich beschriebene Java-Programme im Quelltext. Außerdem wird auf die Seiten SWE1 und SWE2 zum Software-Engineering hingewiesen.




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Was ist eine Turing-Maschine?



Das Konzept der später nach ihm benannten Turing-Maschine(n) wurde um 1936 von Alan Turing (GB, 1912 - 1954) entwickelt, um im Gedankenexperiment zu überlegen, welche Aufgaben und Probleme überhaupt von (solchen) Maschinen gelöst werden könnten. Damit wurde die Theorie der (automatischen) Berechenbarkeit begründet, bevor es die ersten "richtigen" elektrischen bzw. elektronischen Computer gab.



a) Anschauliche Beschreibung

Turingmaschinen sind einfach aufgebaut: Als (Daten-)Speicher sowie gleichzeitig als Ein- und Ausgabegerät steht nur ein einziges langes Band zur Verfügung, auf dem in linear nebeneinander angeordneten Feldern jeweils einzelne Zeichen stehen können. Alle übrigen Felder des Bandes sind leer. Über dem Band bewegt sich ein kombinierter Lese- und Schreibkopf, der jeweils genau ein Zeichen lesen und es eventuell durch ein anderes Zeichen ersetzen kann. Der Einfachheit halber lässt man dabei den Kopf immer ein Zeichen schreiben: soll das ursprünglich gelesene Zeichen erhalten bleiben, wird es mit sich selbst überschrieben, sonst schreibt man ein anderes Zeichen aufs Band. Nach der Lese- und Schreib-Operation kann der Kopf über der gleichen Stelle des Bandes verharren (und im nächsten Arbeitsschritt das gerade ins aktuelle Band-Arbeitsfeld geschriebene Zeichen wieder lesen) oder sich auf dem Band entweder um eine Stelle nach links oder um eine Stelle nach rechts bewegen, um im nächsten Takt den Inhalt des Nachbarfelds zu lesen und ggf. zu verändern.

Skizze der üblichen Realisation einer TuringmaschineDie Aktionen des Lese-/Schreib-Kopfes werden durch das Programm gesteuert, das bei einer begrenzten Zahl möglicher Zustände durch die so genannte Maschinentafel festgelegt wird. Die Maschinentafel ist eine zweidimensionalen Tabelle, in der für jeden Zustand und jedes gerade vom Band gelesene Zeichen eingetragen ist, wie die Maschine reagieren soll: welches Zeichen aufs Band geschrieben wird, ob bzw. in welche Richtung sich der Kopf bewegen soll, und welchen (Folge-)Zustand die Maschine annimmt, bevor der nächste Arbeitstakt beginnt. Die Maschinentafel kann während des Programmablaufs nicht mehr verändert werden.

Während das Band theoretisch unendlich lang sein kann, dürfen nur endlich viele verschiedene Zeichen benutzt werden (die das so genannte Bandalphabet bilden) und sind auch nur endlich viele Zustände erlaubt. Zum Bandalphabet gehört auch das Leerzeichen, das sich anfangs in allen nicht anderweitig beschrifteten Feldern des Bandes befindet. Zu den Zuständen gehört mindestens ein Endzustand, bei dessen Erreichen die Maschine anhält und so den ordnungsgemäßen Abschluss des Programms anzeigt. Allerdings gibt es durchaus Aufgabenstellungen, für die kein Turing-Programm möglich oder bekannt ist, das sicher irgendwann anhält (Halteproblem).

Interessanterweise können die hier beschriebenen Turingmaschinen (wobei man eine Turingmaschine mit anderem Programm als eigene Turingmaschine auffasst) genau die gleichen Probleme lösen und Aufgaben berechnen wie unsere heutigen, modernsten Computer [mehr dazu am Ende des Abschnitts b3) weiter unten!]. Deshalb gehören Turingmaschinen nach wie vor zum wichtigen Inventar der Theoretischen Informatik und werden dort auch heute noch gerne als Computermodelle verwendet.




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b) Einige Turing-Maschinen-Beispiele

b1) "Hallo Welt"

Wenn Turingmaschinen genauso mächtig sind wie normale Computer, dann muss es auch eine Turingmaschine geben, die "Hallo Welt" auf das anfangs leere Band schreibt. Das Bandalphabet hierfür besteht außer dem Leerzeichen _ aus den sechs Buchstaben des zu schreibenden Textes, also aus { _, a, e, H, l, o, t, W }. Ein schnell geschriebenes Programm benutzt elf Zustände und startet im Zustand 1. Die Maschinentafel wäre damit eine (8 x 11)-Tabelle plus Randbeschriftung, wobei hier allerdings nur die erste innere Spalte (unter dem Leerzeichen _ ) interessant ist, weil das Band anfangs leer ist und der Kopf nur nach rechts wandert, sodass nie andere Zeichen als das Leerzeichen gelesen werden. Jeder Tabelleneintrag besteht aus einem Tripel: (neues Zeichen, Kopfbewegung, nächster Zustand). So bedeutet etwa das Tripel (H,>,2) bzw. kurz H>2, dass das Zeichen H aufs Band geschrieben wird, der Kopf sich dann um ein Feld nach rechts (>) bewegt und die Maschine in den Zustand 2 übergeht:

Maschinentafel einer Turingmaschine, die "Hallo Welt" auf ein anfangs leeres Band schreibt und hält
letzter Zustand  \  gelesenes Zeichen _ a e H l o t W
    1 (Startzustand) H>2
    2 a>3
    3 l>4
    4 l>5
    5 o>6
    6 _>7
    7 W>8
    8 e>9
    9 l>10
   10 t>11
   11 (Endzustand) Halt Halt Halt Halt Halt Halt Halt Halt


Es ist sofort klar, dass die Maschine - irgendwo auf einem völlig leeren Band im Zustand 1 gestartet - wirklich die gestellte Aufgabe löst, nämlich in 10 Schritten insgesamt "Hallo Welt" notiert und mit dem Kopf hinter dem letzten Buchstaben t stehen bleibt. Das Anhalten signalisiert den Erfolg und das fehlerfreie Programmende. Da beim anfangs leeren Band nie andere Zeichen als das Leerzeichen _ gelesen werden können, brauchen hier die meisten Spalten der Tabelle gar nicht ausgefüllt werden (oder könnten beliebige Inhalte haben).

Muss man hingegen befürchten, dass auf dem Band schon irrtümlich etwas steht und will diesen Fall als Fehler kennzeichnen, könnte man in alle bisher frei gelassenen Tabellenfelder Einträge schreiben, die z.B. das gelesene falsche Zeichen mit sich selbst überschreiben, den Kopf an der Stelle lassen und auch im gleichen Zustand bleiben, sodass das falsche Zeichen endlos immer wieder gelesen und geschrieben wird, die Maschine also nie anhält [Hinweis: Eine andere Art der Fehlerbehandlung wird in b2) gezeigt].


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b2) Addition von zwei (Dual-)Zahlen

Das vorige Beispiel erscheint - nachdem man mal die Arbeitsweise einer Turingmaschine erfasst hat - nicht sehr kompliziert. Kann aber eine Turingmaschine außer dieser Primitivform von Textverarbeitung auch rechnen? Dass soll beispielhaft an der Addition zweier einstelliger Dualzahlen x und y, gezeigt werden - wenn x und y Bits, nämlich Elemente aus {0,1} sind.
Die Turingmaschine soll auf alle richtig gestellten Aufgaben der Form "x+y=" die korrekte Summe rechts neben das Gleichheitszeichen schreiben und dann anhalten. Die Aufgabe muss vor dem Start bereits auf dem Band stehen (als anfängliche Bandinschrift), der Kopf soll sich anfangs auf dem ersten Zeichen der Aufgabe befinden (also auf/über dem x).
Startzustand sei immer der Zustand 1.

Die Turingmaschine mit folgender Maschinentafel ist geeignet:

Turingmaschine, die hinter die anfängliche Bandinschrift "x+y=" die Summe schreibt und hält
letzter Zustand  \  gelesenes Zeichen _  +   =  0 1
    1 (Start auf x) _=13  +=13   ==13  0>2 1>3
    2 _=13 +>4  ==13  0=13 1=13
    3 _=13 +>5  ==13  0=13 1=13
    4 _=13  +=13   ==13  0>6 1>7
    5 _=13  +=13   ==13  0>7 1>8
    6 _=13  +=13  =>9 0=13 1=13
    7 _=13  +=13  =>10 0=13 1=13
    8 _=13  +=13  =>11 0=13 1=13
    9 0>14  +=13   ==13  0=13 1=13
   10 1>14  +=13   ==13  0=13 1=13
   11 1>12  +=13   ==13  0=13 1=13
   12 0>14  +=13   ==13  0=13 1=13
   13 (Dauerzustand nach Eingabefehler) _=13  +=13   ==13  0=13 1=13
   14 (Endzustand) Halt Halt Halt Halt Halt

Dabei ist zu beachten, dass diese Maschine nicht nur addiert, sondern auch die Eingabe auf syntaktische Korrektheit überprüft. Steht der Kopf anfangs nicht auf dem ersten Bit oder gibt es zusätzliche Leerzeichen, mehrstellige Dualzahlen oder fehlende Rechen- oder Gleichheitszeichen bzw. steht direkt hinter dem Gleichheitszeichen schon eine Zahl auf dem Band, dann gerät die Maschine in den Zustand 13 und hält nie an: der Kopf bleibt über dem beanstandeten Zeichen und liest und schreibt dies endlos immer wieder! Zur besseren Übersicht wurden die Einträge, die der Fehlerbehandlung dienen, in der Tafel kursiv und hellgrau eingetragen.

Bei richtiger Eingabe schreibt die Maschine die richtige ein- oder zweistellige Summe und hält an, wobei dann der Kopf hinter der letzten geschriebenen Ziffer steht.

Die abgebildete Maschine merkt sich übrigens in den Zuständen, welcher Teil der Eingabe bereits gelesen wurde: Wurde als Eingabeanfang bzw. Beginn der Aufgabe "0" erkannt, führt das zum Zustand 2. Der Eingabeteil "0+" führt zum Zustand 4, "0+0" zum Zustand 6, "0+0=" zum Zustand 9, der schließlich dafür sorgt, dass das anschließende Leerzeichen mit dem Ergebnis 0 überschrieben wird (jetzt also "0+0=0" auf dem Band steht und der Kopf nach rechts dahinter rückt), bevor die Maschine anhält.
In ähnlicher Weise führt die Erkenntnis von "1" zum Zustand 3, "1+" zum Zustand 5, "1+0" zum Zustand 7, "1+0=" zum Zustand 10, sodass nun das Ergebnis 1 geschrieben werden kann und muss. Umgekehrt ist bei Erreichen beispielsweise des Zustands 7 sicher, dass entweder bereits "1+0" oder "0+1" gelesen wurde, das spätere Ergebnis also 1 sein muss, aber zunächst das Gleichheitszeichen erwartet wird, bevor das Ergebnis (nach Erreichen von Zustand 10) geschrieben werden darf.
Dass wirklich "0+1=" (Zustand 10) und auch "1+1=" (Zustand 11) schrittweise richtig erkannt werden, mag an der obigen Tabelle als Übung überprüft werden. Außerdem ist erkennbar, dass im letzten Fall das zweistellige Ergebnis 10 notiert wird, wobei der Zustand 12 'weiß', das bereits die vordere der beiden Ergebnisziffern (mit dem Stellenwert 2) geschrieben wurde und nur noch die Einerziffer 0 fehlt, die jetzt an die leere Stelle muss.
Allgemein ist eine Turingmaschine allerdings nicht darauf angewiesen, sich Fortschritte oder Zwischenergebnisse unbedingt in Zuständen zu merken, da auch das Band z.B. zum Notieren von Zwischenwerten benutzt werden kann. Spezielle Codes, die über Buchstaben hinausgehen, die für die Aufgabe bzw. die Bandinschrift verwendet werden, können Zustände sparen: So kann etwa ein Zwischenergebnis Zehn statt dezimal (d.h. als eine 10 aus zwei Zeichen 1 und 0) besser in einem Zeichen, etwa als A notiert werden; ein eingefügtes, vielleicht am Ende wieder zu entfernendes Zeichen $ könnte markieren, wie weit eine Aufgabe bereits bearbeitet wurde.

Dadurch, dass die oben vorgestellte Maschine praktisch Scanner und Parser vereint, die ursprünglich auf dem Band befindliche Aufgabe also auf richtige Schreibweise kontrolliert und dann korrekt löst, ist die Maschine relativ aufwändig. Vertraut man auf die korrekte Eingabe der beiden jetzt nur noch durch genau ein Leerzeichen getrennten Summanden x und y und verzichtet auf Rechen- und Gleichheitszeichen, reicht eine viel kleinere Maschine zum Ersetzen der Summanden durch ihre Summe (wobei beim Halt also nur noch die Summe auf den Band steht, während die ursprünglichen Summanden gelöscht wurden oder überschrieben sind):

Turingmaschine, die die Bandinschrift "x y" durch ihre Summe ersetzt
letzter Zustand  \  gelesenes Zeichen _ 0 1
    1 (Start auf x) _=1 _>2 _>3
    2 _>2 0>5 1>5
    3 _>3 1>5 1>4
    4 0>5 0=4 1=4
    5 (Endzustand) Halt Halt Halt

Die hellgrauen Einträge kommen nur bei fehlerhafter Bandbeschriftung zum Einsatz (wenn neben bzw. hinter dem y noch etwas steht), sollten also laut Voraussetzung nie gebraucht werden und führen dazu, dass die Maschine im Fehlerfall endlos an der Fehlerstelle verharrt, aber nicht anhält (ein eigener Fehlerzustand, wie oben als Zustand 13 eingefügt, ist also gar nicht nötig - vgl. auch Text am Ende von b1)).


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b3) Turingmaschinen für logische Verknüpfungen

In ähnlicher Weise wie die in b2) vorgestellten Additionsmaschine können Turingmaschinen geplant werden, die

Turingmaschine, die die Bandinschrift "x" durch ihr Inverses ersetzt
letzter Zustand  \  gelesenes Zeichen _ 0 1
    1 (Start auf x) _=1 1>2 0>2
    2 (Endzustand) Halt Halt Halt

Hier wurden die logischen Verknüpfungen in der Javasyntax aufgeschrieben; man muss lediglich das Operator-Zeichen austauschen, um mit der sonst gleichen Maschine die mathematische Notation (etwa mit 'dach' statt &) verarbeiten zu können.

Mit der Addition und den drei logischen Operationen beherrschen Turingmaschinen die Grundfunktionen einer Arithmetisch-Logischen-Einheit (ALU), die den Kern des Rechenwerks jedes modernen Computers bildet (vgl. auch mein im pdf-Format verfügbares Skript über Logik und Aufbau eines Computers, gepackt in voramor-pascal.zip bzw. voramor-java.zip auf meiner Software-Seite). Wenn aber Turingmaschinen die Grundoperationen eines normalen Computers beherrschen, können sie im Prinzip auch alles berechnen, was ein normaler Computer (also eine von-Neumann-Registermaschine) berechnen kann. Das führt zur Erkenntnis 1: Turingmaschinen sind mindestens so leistungsfähig wie normale Computer!
Da umgekehrt Turingmaschinen auf Digital-Computern simuliert werden können - das hier beschriebene und im Folgenden ausgeführte Projekt widmet sich genau dieser Aufgabe - sind normale Computer offensichtlich mindestens so mächtig wie Turingmaschinen, da sie Turingmaschinen simulieren können (aber auch noch andere Programme laufen). Daraus ergibt sich Erkenntnis 2: Normale Computer können mindestens so viel wie Turingmaschinen.
Aus beiden Erkenntnissen zusammen ergibt sich die eingangs (am Ende von Abschnitt a)) getroffene Aussage, dass moderne Computer und die 1936 modellhaft erdachten Turingmaschinen prinzipiell gleichwertig sein müssen, weil keine der beiden Geräteklassen mehr Aufgaben lösen kann.




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c) Theoretische Beschreibung

Wie oben am Ende des Abschnitts a) bereits erwähnt, werden Turingmaschinen gerne in der Theoretischen Informatik verwendet. Dort gibt man sich aber nicht mit einer anschaulichen Beschreibung und Beispielen zufrieden, sondern definiert formal, was eine Turingmaschine ist. Dabei findet man unterschiedliche Definitionen: manchmal wird nicht nur ein Endzustand, sondern werden mehrere Endzustände zugelassen; an anderer Stelle wird zwischen dem Eingabealphabet (das nur die in der anfänglichen Bandinschrift verwendeten Zeichen enthält) und dem umfassenderen Bandalphabet aller möglichen, auch später zu schreibenden Zeichen unterschieden, wobei dann meist das Leerzeichen nicht zum Eingabealphabet gehört - obwohl die Bandinschrift trotzdem aus mehreren, durch Leerzeichen getrennten Teilen bestehen darf.. Wird die Kopfbewegung mit Buchstaben wie L (links), R (rechts) und S (still stehen bleiben) abgekürzt, dürfen diese Buchstaben in einigen Definitionen nicht im Eingabe- oder Bandalphabet vorkommen, offenbar um Verwechslungen zu vermeiden [obwohl diese durch die Position im Tabelleneintrag eigentlich ausgeschlossen sein sollten: bei ==13 bzw. (=, =, 13) in meiner ersten Maschinentafel in b1) ist das erste Zeichen des Tripels das neu aufs Band zu schreibende Zeichen des Bandalphabets (hier das Gleichheitszeichen), in der Mitte gefolgt vom Zeichen für die Kopfbewegung (wobei ich mit = den Stillstand symbolisiere) und an letzter Stelle gefolgt von der Nummer des Zustands. Eine einstelligen Zustandsnummer könnte ohne Beachtung der allerdings wichtigen Reihenfolge ja auch mit einem Zeichen des Bandalphabets verwechselt werden, wie der Eintrag 1>2 in meiner Maschinentafel in b3) zeigt: die erste 1 ist das aufs Band zu schreibende Zeichen, die hintere 2 die Nummer des Folgezustands]. Manche Autoren verzichten auch auf die von mir oben jeweils angegebene letzte Zeile in der Maschinentafel, die ja nur 'Halt' enthält, und zählen den Endzustand deshalb bei den Zuständen nicht mit, würden also die Invertier-Maschine aus b3) als Turingmaschine mit nur einem Zustand bezeichnen. Im Zug weiterer Verwirrung erlauben manche Definitionen nur ein einseitig unbeschränktes Band (Strahl) statt eines nach beiden Seiten unendlichen Bandes oder erlauben keinen Stillstand des Lese-/Schreib-Kopfes. Zum Glück haben solche scheinbaren Einschränkungen keine Auswirkung auf das, was mit solchen Maschinen berechnet werden kann. Eventuell sind die Programme etwas aufwändiger (oder bei mehreren Endzuständen vielleicht auch kürzer), aber im Endeffekt können letztlich immer genau die gleichen Probleme berechnet werden wie mit einer Maschine mit beidseitig offenem Band, drei Kopf-'bewegungs'-möglichkeiten und nur genau einem Endzustand. Ich definiere eine Turingmaschine M durch ein 6-Tupel:

M = (B, Z, bLeer, d, zS, zE,)

d.h. eine Turingmaschine M braucht

Es fehlt noch

Das Vorhandensein von Band und Kopf wird in der Regel stillschweigend vorausgesetzt und findet sich nicht explizit im 6-Tupel oder in i wieder. Offensichtlich muss es diese Dinge aber geben, weil sonst B, bLeer oder i sowie die innerhalb von d vorkommenden Kopfbewegungen {<,=,>} bedeutungslos wären. Die Maschinentafel wird implizit durch d gefordert.
Wie oft in der Informatik ist die formale, algebraisch-"axiomatische" Definition ohne zusätzliche Beschreibung nicht oder nur schwer verständlich und gibt ohne Weiteres keinen Hinweis auf Aussehen und Funktion des üblichen Turingmaschinen-Modells.

Ein Blick in Lehrbücher der Theoretischen Informatik, in Wikipedia oder ein kurze Internetrecherche werden schnell zu ähnlichen, aber nicht immer ganz identischen formalen Definition führen, wobei die Komponenten des Tupels gerne mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden. Weiterhin gibt es neben den hier vorgestellten deterministischen Turingmaschinen manchmal auch noch weitere Formen.




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d) Ehrgeizige Programmierung und Fleißige Biber (busy beaver)

Während bei Hochsprachenprogrammen (also etwa Java-Programmen) heute ein übersichtlicher, leicht wartbarer, gut-strukturierter und Objekt-orientierter Programmierstil das Ziel ist (auch wenn der Programmtext dadurch deutlich an Umfang gewinnt), entwickeln Turing-Maschinen-Ersteller oft den Ehrgeiz, ein Problem mit einer möglichst kleinen Turing-Maschine zu lösen: Die Anzahl der Zustände soll minimal sein und das Bandalphabet wird auch auf das Nötigste beschränkt und soll möglichst keine bzw. höchstens wenige zusätzliche Zeichen für Zwischenergebnisse u.ä. enthalten.

Als Königsdiziplin des Minimalismus gilt seit dem Jahr 1962 die Programmierung so genannter Fleißiger Biber. Bei dieser Sonderform von Turingmaschinen ist das Bandalphabet auf zwei Zeichen, nämlich das Leerzeichen _ und einen Strich | (der als Baumstamm gedeutet werden kann) beschränkt. Damit der Biber fleißig ist, darf der Kopf nicht still stehen, d.h. es gibt nur die beiden Kopfbewegungen links (<) oder rechts (>). Ziel ist es, unter diesen Bedingungen mit möglichst wenigen Zuständen möglichst viele Striche lückenlos nebeneinander auf das anfangs leere Band zu schreiben, bevor der Biber hält.

Das Anhalten ist wichtig, denn eine Maschine mit nur einem einzigen Zustand 1 und dem Tabelleneintrag |>1 in der Leerzeichen-Spalte dieses Startzustands würde unendliche viele Striche schreiben können, kommt aber nie zum Halt.

Zählt man den Endzustand nicht mit, so kann der beste Fleißige Biber mit genau einem echten Zustand nur einen Strich, ein Fleißiger Biber mit 2 echten Zuständen schon 4 Striche, ein Biber mit 3 Zuständen insgesamt 6 Striche und ein 4-Zustands-Biber 13 Striche schreiben. Für einen Biber mit 5 echten Zuständen galt bis zum Jahr 1983 ein Rekord von 240 Strichen. Binnen Jahresfrist wurden Maschinen für 501 und schließlich für 1915 Striche ersonnen und seit dem Jahr 1989 ist ein Biber mit 5 Zuständen bekannt, der sogar 4098 Striche produziert. Ob noch eine weitere Steigerung der Strichzahl möglich ist, ist unbekannt. Die Anzahl der Striche, die mit 6 echten Zuständen geschrieben werden kann, ist hingegen riesig viel größer: Die seit dem Jahr 2010 erreichbare Anzahl von Strichen ist eine Dezimalzahl mit 18267 Stellen!




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Projekt: Javaprogramm zur Simulation von Turingmaschinen



Nachdem jetzt bekannt ist, was eine Turingmaschine ist und wie sie funktioniert, kann mit der Programmierung begonnen werden. Zwar können im Internet ohne Weiteres einige kostenlose Turingmaschinen-Programme gefunden werden, die sich auch für den Schulunterricht oder das (Selbst-)Studium eignen - auf meiner Software-Seite gibt es mit 'TuringMa 3.0' auch noch ein betagtes, leicht (aber antiquiert) bedienbares, seinerzeit in Turbo-Pascal programmiertes fertiges eigenes Simulationsprogramm -, soll hier ein neuer Versuch mit Java unternommen werden. Dabei werden die Entwurfsentscheidungen und Entwicklungsschritte mitgeteilt und erläutert. Dabei ist schon ein größeres Projekt geplant, das in mehrerer Hinsicht über bisher Gezeigtes und den normalen Schulunterricht (auch des Informatik-Leistungskurses) hinaus gehen kann:


Vier Vorhaben

Jedenfalls soll das Projekt im zweiten Halbjahr 2019 nach und nach erstellt und hier bzw. auf kommenden, nachfolgenden Extraseiten erläutert werden. Sehen Sie doch einfach demnächst vorbei, um die Fortschritte zu sehen!

(demnächst:) zur nächsten Seite des "Turingmaschinen-Projekts"


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